Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80108 / 83676
↖ ↑ ↗
← S 44.520010°
E 40.023193°		 ← 217.77 m → S 44.520010°
E 40.025940°		 →
↑
217.76 m
↓
↑
217.76 m
↓
S 44.521969°
E 40.023193°		 ← 217.76 m →
47 421 m²		 S 44.521969°
E 40.025940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611179351806641 y=0.638401031494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611179351806641 × 217)
    floor (0.611179351806641 × 131072)
    floor (80108.5)     		tx = 80108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638401031494141 × 217)
    floor (0.638401031494141 × 131072)
    floor (83676.5)     		ty = 83676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80108 / 83676 ti = "17/80108/83676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80108/83676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80108 ÷ 217
    80108 ÷ 131072     		x = 0.611175537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83676 ÷ 217
    83676 ÷ 131072     		y = 0.638397216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611175537109375 × 2 - 1) × π
    0.22235107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.69853650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638397216796875 × 2 - 1) × π
    -0.27679443359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.869575359107819
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69853650} λ = 0.69853650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.869575359107819))-π/2
    2×atan(0.419129490985288)-π/2
    2×0.39688778454695-π/2
    0.793775569093899-1.57079632675     		φ = -0.77702076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69853650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.023193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77702076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.520010°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80108 KachelY 83676 0.69853650 -0.77702076 40.023193 -44.520010
    Oben rechts KachelX + 1 80109 KachelY 83676 0.69858444 -0.77702076 40.025940 -44.520010
    Unten links KachelX 80108 KachelY + 1 83677 0.69853650 -0.77705494 40.023193 -44.521969
    Unten rechts KachelX + 1 80109 KachelY + 1 83677 0.69858444 -0.77705494 40.025940 -44.521969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77702076--0.77705494) × R
    3.41799999999948e-05 × 6371000     		dl = 217.760779999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77702076--0.77705494) × R
    3.41799999999948e-05 × 6371000     		dr = 217.760779999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69853650-0.69858444) × cos(-0.77702076) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.713005618103541 × 6371000     		do = 217.770268533288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69853650-0.69858444) × cos(-0.77705494) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.712981652095703 × 6371000     		du = 217.76294869761m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77702076)-sin(-0.77705494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.713005618103541-0.712981652095703)×R²
    abs(0.69858444-0.69853650)×2.39660078372728e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39660078372728e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39660078372728e-05×40589641000000     		ar = 47421.0265546098m²