Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80107 / 83743
↖ ↑ ↗
← S 44.651070°
E 40.020447°		 ← 217.28 m → S 44.651070°
E 40.023193°		 →
↑
217.25 m
↓
↑
217.25 m
↓
S 44.653024°
E 40.020447°		 ← 217.27 m →
47 203 m²		 S 44.653024°
E 40.023193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611171722412109 y=0.638912200927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611171722412109 × 217)
    floor (0.611171722412109 × 131072)
    floor (80107.5)     		tx = 80107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638912200927734 × 217)
    floor (0.638912200927734 × 131072)
    floor (83743.5)     		ty = 83743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80107 / 83743 ti = "17/80107/83743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80107/83743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80107 ÷ 217
    80107 ÷ 131072     		x = 0.611167907714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83743 ÷ 217
    83743 ÷ 131072     		y = 0.638908386230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611167907714844 × 2 - 1) × π
    0.222335815429688 × 3.1415926535     		Λ = 0.69848856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638908386230469 × 2 - 1) × π
    -0.277816772460938 × 3.1415926535     		Φ = -0.872787131382362
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69848856} λ = 0.69848856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.872787131382362))-π/2
    2×atan(0.417785501955373)-π/2
    2×0.395744067991323-π/2
    0.791488135982646-1.57079632675     		φ = -0.77930819
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69848856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.020447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77930819 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.651070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80107 KachelY 83743 0.69848856 -0.77930819 40.020447 -44.651070
    Oben rechts KachelX + 1 80108 KachelY 83743 0.69853650 -0.77930819 40.023193 -44.651070
    Unten links KachelX 80107 KachelY + 1 83744 0.69848856 -0.77934229 40.020447 -44.653024
    Unten rechts KachelX + 1 80108 KachelY + 1 83744 0.69853650 -0.77934229 40.023193 -44.653024
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77930819--0.77934229) × R
    3.41000000000369e-05 × 6371000     		dl = 217.251100000235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77930819--0.77934229) × R
    3.41000000000369e-05 × 6371000     		dr = 217.251100000235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69848856-0.69853650) × cos(-0.77930819) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.71139990358648 × 6371000     		do = 217.279841988687m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69848856-0.69853650) × cos(-0.77934229) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.711375938121379 × 6371000     		du = 217.272522318774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77930819)-sin(-0.77934229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71139990358648-0.711375938121379)×R²
    abs(0.69853650-0.69848856)×2.39654651010834e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39654651010834e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39654651010834e-05×40589641000000     		ar = 47203.4895815242m²