Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80106 / 83770
↖ ↑ ↗
← S 44.703802°
E 40.017700°		 ← 217.04 m → S 44.703802°
E 40.020447°		 →
↑
217.06 m
↓
↑
217.06 m
↓
S 44.705754°
E 40.017700°		 ← 217.03 m →
47 109 m²		 S 44.705754°
E 40.020447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83770 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611164093017578 y=0.639118194580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611164093017578 × 217)
    floor (0.611164093017578 × 131072)
    floor (80106.5)     		tx = 80106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639118194580078 × 217)
    floor (0.639118194580078 × 131072)
    floor (83770.5)     		ty = 83770
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80106 / 83770 ti = "17/80106/83770"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80106/83770.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80106 ÷ 217
    80106 ÷ 131072     		x = 0.611160278320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83770 ÷ 217
    83770 ÷ 131072     		y = 0.639114379882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611160278320312 × 2 - 1) × π
    0.222320556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69844063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639114379882812 × 2 - 1) × π
    -0.278228759765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.874081427672104
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69844063} λ = 0.69844063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.874081427672104))-π/2
    2×atan(0.417245113517098)-π/2
    2×0.39528389625016-π/2
    0.79056779250032-1.57079632675     		φ = -0.78022853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69844063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.017700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78022853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.703802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80106 KachelY 83770 0.69844063 -0.78022853 40.017700 -44.703802
    Oben rechts KachelX + 1 80107 KachelY 83770 0.69848856 -0.78022853 40.020447 -44.703802
    Unten links KachelX 80106 KachelY + 1 83771 0.69844063 -0.78026260 40.017700 -44.705754
    Unten rechts KachelX + 1 80107 KachelY + 1 83771 0.69848856 -0.78026260 40.020447 -44.705754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78022853--0.78026260) × R
    3.40699999999972e-05 × 6371000     		dl = 217.059969999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78022853--0.78026260) × R
    3.40699999999972e-05 × 6371000     		dr = 217.059969999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69844063-0.69848856) × cos(-0.78022853) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.710752799003935 × 6371000     		do = 217.036917532156m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69844063-0.69848856) × cos(-0.78026260) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.71072883232706 × 6371000     		du = 217.029599019054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78022853)-sin(-0.78026260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710752799003935-0.71072883232706)×R²
    abs(0.69848856-0.69844063)×2.39666768752089e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39666768752089e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39666768752089e-05×40589641000000     		ar = 47109.2325348072m²