Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 80106 / 82298
↖ ↑ ↗
← S 41.759020°
E 40.017700°		 ← 227.79 m → S 41.759020°
E 40.020447°		 →
↑
227.83 m
↓
↑
227.83 m
↓
S 41.761069°
E 40.017700°		 ← 227.78 m →
51 895 m²		 S 41.761069°
E 40.020447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611164093017578 y=0.627887725830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611164093017578 × 217)
    floor (0.611164093017578 × 131072)
    floor (80106.5)     		tx = 80106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627887725830078 × 217)
    floor (0.627887725830078 × 131072)
    floor (82298.5)     		ty = 82298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80106 / 82298 ti = "17/80106/82298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80106/82298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80106 ÷ 217
    80106 ÷ 131072     		x = 0.611160278320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82298 ÷ 217
    82298 ÷ 131072     		y = 0.627883911132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611160278320312 × 2 - 1) × π
    0.222320556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69844063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627883911132812 × 2 - 1) × π
    -0.255767822265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.803518311431381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69844063} λ = 0.69844063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.803518311431381))-π/2
    2×atan(0.447750862640429)-π/2
    2×0.420981968242629-π/2
    0.841963936485258-1.57079632675     		φ = -0.72883239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69844063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.017700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72883239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.759020°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80106 KachelY 82298 0.69844063 -0.72883239 40.017700 -41.759020
    Oben rechts KachelX + 1 80107 KachelY 82298 0.69848856 -0.72883239 40.020447 -41.759020
    Unten links KachelX 80106 KachelY + 1 82299 0.69844063 -0.72886815 40.017700 -41.761069
    Unten rechts KachelX + 1 80107 KachelY + 1 82299 0.69848856 -0.72886815 40.020447 -41.761069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72883239--0.72886815) × R
    3.57600000000513e-05 × 6371000     		dl = 227.826960000327m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72883239--0.72886815) × R
    3.57600000000513e-05 × 6371000     		dr = 227.826960000327m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69844063-0.69848856) × cos(-0.72883239) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.745952537869516 × 6371000     		do = 227.785581247627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69844063-0.69848856) × cos(-0.72886815) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.745928721264481 × 6371000     		du = 227.778308560766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72883239)-sin(-0.72886815))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.745952537869516-0.745928721264481)×R²
    abs(0.69848856-0.69844063)×2.38166050343658e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38166050343658e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38166050343658e-05×40589641000000     		ar = 51894.8680560357m²