Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80106 / 82245
↖ ↑ ↗
← S 41.650341°
E 40.017700°		 ← 228.17 m → S 41.650341°
E 40.020447°		 →
↑
228.21 m
↓
↑
228.21 m
↓
S 41.652393°
E 40.017700°		 ← 228.16 m →
52 070 m²		 S 41.652393°
E 40.020447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82245 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611164093017578 y=0.627483367919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611164093017578 × 217)
    floor (0.611164093017578 × 131072)
    floor (80106.5)     		tx = 80106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627483367919922 × 217)
    floor (0.627483367919922 × 131072)
    floor (82245.5)     		ty = 82245
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80106 / 82245 ti = "17/80106/82245"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80106/82245.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80106 ÷ 217
    80106 ÷ 131072     		x = 0.611160278320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82245 ÷ 217
    82245 ÷ 131072     		y = 0.627479553222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611160278320312 × 2 - 1) × π
    0.222320556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69844063
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627479553222656 × 2 - 1) × π
    -0.254959106445312 × 3.1415926535     		Φ = -0.800977655751518
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69844063} λ = 0.69844063}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.800977655751518))-π/2
    2×atan(0.448889889737897)-π/2
    2×0.42193037411087-π/2
    0.84386074822174-1.57079632675     		φ = -0.72693558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69844063} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.017700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72693558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.650341°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80106 KachelY 82245 0.69844063 -0.72693558 40.017700 -41.650341
    Oben rechts KachelX + 1 80107 KachelY 82245 0.69848856 -0.72693558 40.020447 -41.650341
    Unten links KachelX 80106 KachelY + 1 82246 0.69844063 -0.72697140 40.017700 -41.652393
    Unten rechts KachelX + 1 80107 KachelY + 1 82246 0.69848856 -0.72697140 40.020447 -41.652393
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72693558--0.72697140) × R
    3.58200000000197e-05 × 6371000     		dl = 228.209220000126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72693558--0.72697140) × R
    3.58200000000197e-05 × 6371000     		dr = 228.209220000126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69844063-0.69848856) × cos(-0.72693558) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.747214468952666 × 6371000     		do = 228.170927084898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69844063-0.69848856) × cos(-0.72697140) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.74719066311096 × 6371000     		du = 228.163657684749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72693558)-sin(-0.72697140))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747214468952666-0.74719066311096)×R²
    abs(0.69848856-0.69844063)×2.3805841705804e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3805841705804e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3805841705804e-05×40589641000000     		ar = 52069.8798302205m²