Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80105 / 82395
↖ ↑ ↗
← S 41.957448°
E 40.014954°		 ← 227.13 m → S 41.957448°
E 40.017700°		 →
↑
227.06 m
↓
↑
227.06 m
↓
S 41.959490°
E 40.014954°		 ← 227.12 m →
51 571 m²		 S 41.959490°
E 40.017700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82395 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611156463623047 y=0.628627777099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611156463623047 × 217)
    floor (0.611156463623047 × 131072)
    floor (80105.5)     		tx = 80105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628627777099609 × 217)
    floor (0.628627777099609 × 131072)
    floor (82395.5)     		ty = 82395
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80105 / 82395 ti = "17/80105/82395"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80105/82395.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80105 ÷ 217
    80105 ÷ 131072     		x = 0.611152648925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82395 ÷ 217
    82395 ÷ 131072     		y = 0.628623962402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611152648925781 × 2 - 1) × π
    0.222305297851562 × 3.1415926535     		Λ = 0.69839269
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628623962402344 × 2 - 1) × π
    -0.257247924804688 × 3.1415926535     		Φ = -0.808168190694527
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69839269} λ = 0.69839269}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.808168190694527))-π/2
    2×atan(0.445673708190461)-π/2
    2×0.419250359713946-π/2
    0.838500719427892-1.57079632675     		φ = -0.73229561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69839269} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.014954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73229561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.957448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80105 KachelY 82395 0.69839269 -0.73229561 40.014954 -41.957448
    Oben rechts KachelX + 1 80106 KachelY 82395 0.69844063 -0.73229561 40.017700 -41.957448
    Unten links KachelX 80105 KachelY + 1 82396 0.69839269 -0.73233125 40.014954 -41.959490
    Unten rechts KachelX + 1 80106 KachelY + 1 82396 0.69844063 -0.73233125 40.017700 -41.959490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73229561--0.73233125) × R
    3.56400000000034e-05 × 6371000     		dl = 227.062440000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73229561--0.73233125) × R
    3.56400000000034e-05 × 6371000     		dr = 227.062440000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69839269-0.69844063) × cos(-0.73229561) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.743641567618045 × 6371000     		do = 227.127276084352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69839269-0.69844063) × cos(-0.73233125) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.743617739007799 × 6371000     		du = 227.119998213435m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73229561)-sin(-0.73233125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.743641567618045-0.743617739007799)×R²
    abs(0.69844063-0.69839269)×2.38286102451912e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38286102451912e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38286102451912e-05×40589641000000     		ar = 51571.2472380688m²