Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80105 / 82250
↖ ↑ ↗
← S 41.660601°
E 40.014954°		 ← 228.18 m → S 41.660601°
E 40.017700°		 →
↑
228.15 m
↓
↑
228.15 m
↓
S 41.662653°
E 40.014954°		 ← 228.17 m →
52 058 m²		 S 41.662653°
E 40.017700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611156463623047 y=0.627521514892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611156463623047 × 217)
    floor (0.611156463623047 × 131072)
    floor (80105.5)     		tx = 80105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627521514892578 × 217)
    floor (0.627521514892578 × 131072)
    floor (82250.5)     		ty = 82250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80105 / 82250 ti = "17/80105/82250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80105/82250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80105 ÷ 217
    80105 ÷ 131072     		x = 0.611152648925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82250 ÷ 217
    82250 ÷ 131072     		y = 0.627517700195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611152648925781 × 2 - 1) × π
    0.222305297851562 × 3.1415926535     		Λ = 0.69839269
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627517700195312 × 2 - 1) × π
    -0.255035400390625 × 3.1415926535     		Φ = -0.801217340249619
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69839269} λ = 0.69839269}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.801217340249619))-π/2
    2×atan(0.448782310683004)-π/2
    2×0.421840833380424-π/2
    0.843681666760849-1.57079632675     		φ = -0.72711466
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69839269} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.014954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72711466 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.660601°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80105 KachelY 82250 0.69839269 -0.72711466 40.014954 -41.660601
    Oben rechts KachelX + 1 80106 KachelY 82250 0.69844063 -0.72711466 40.017700 -41.660601
    Unten links KachelX 80105 KachelY + 1 82251 0.69839269 -0.72715047 40.014954 -41.662653
    Unten rechts KachelX + 1 80106 KachelY + 1 82251 0.69844063 -0.72715047 40.017700 -41.662653
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72711466--0.72715047) × R
    3.58099999999695e-05 × 6371000     		dl = 228.145509999806m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72711466--0.72715047) × R
    3.58099999999695e-05 × 6371000     		dr = 228.145509999806m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69839269-0.69844063) × cos(-0.72711466) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.747095443451781 × 6371000     		do = 228.182178666739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69839269-0.69844063) × cos(-0.72715047) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.747071639464853 × 6371000     		du = 228.174908316416m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72711466)-sin(-0.72715047))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747095443451781-0.747071639464853)×R²
    abs(0.69844063-0.69839269)×2.38039869283613e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38039869283613e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38039869283613e-05×40589641000000     		ar = 52057.9101814948m²