Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80105 / 18859
↖ ↑ ↗
← N 77.816949°
E 40.014954°		 ← 64.46 m → N 77.816949°
E 40.017700°		 →
↑
64.41 m
↓
↑
64.41 m
↓
N 77.816370°
E 40.014954°		 ← 64.46 m →
4 152 m²		 N 77.816370°
E 40.017700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18859 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611156463623047 y=0.143886566162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611156463623047 × 217)
    floor (0.611156463623047 × 131072)
    floor (80105.5)     		tx = 80105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143886566162109 × 217)
    floor (0.143886566162109 × 131072)
    floor (18859.5)     		ty = 18859
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80105 / 18859 ti = "17/80105/18859"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80105/18859.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80105 ÷ 217
    80105 ÷ 131072     		x = 0.611152648925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18859 ÷ 217
    18859 ÷ 131072     		y = 0.143882751464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611152648925781 × 2 - 1) × π
    0.222305297851562 × 3.1415926535     		Λ = 0.69839269
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143882751464844 × 2 - 1) × π
    0.712234497070312 × 3.1415926535     		Φ = 2.23755066356536
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69839269} λ = 0.69839269}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23755066356536))-π/2
    2×atan(9.37035201235387)-π/2
    2×1.46447914941914-π/2
    2.92895829883828-1.57079632675     		φ = 1.35816197
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69839269} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.014954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35816197 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.816949°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80105 KachelY 18859 0.69839269 1.35816197 40.014954 77.816949
    Oben rechts KachelX + 1 80106 KachelY 18859 0.69844063 1.35816197 40.017700 77.816949
    Unten links KachelX 80105 KachelY + 1 18860 0.69839269 1.35815186 40.014954 77.816370
    Unten rechts KachelX + 1 80106 KachelY + 1 18860 0.69844063 1.35815186 40.017700 77.816370
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35816197-1.35815186) × R
    1.01100000000631e-05 × 6371000     		dl = 64.4108100004022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35816197-1.35815186) × R
    1.01100000000631e-05 × 6371000     		dr = 64.4108100004022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69839269-0.69844063) × cos(1.35816197) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.211035655913551 × 6371000     		do = 64.4557213737394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69839269-0.69844063) × cos(1.35815186) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.211045538209025 × 6371000     		du = 64.4587396811474m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35816197)-sin(1.35815186))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211035655913551-0.211045538209025)×R²
    abs(0.69844063-0.69839269)×9.88229547393971e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.88229547393971e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.88229547393971e-06×40589641000000     		ar = 4151.7424287054m²