Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 80104 / 82393
↖ ↑ ↗
← S 41.953363°
E 40.012207°		 ← 227.14 m → S 41.953363°
E 40.014954°		 →
↑
227.13 m
↓
↑
227.13 m
↓
S 41.955405°
E 40.012207°		 ← 227.13 m →
51 589 m²		 S 41.955405°
E 40.014954°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82393 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611148834228516 y=0.628612518310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611148834228516 × 217)
    floor (0.611148834228516 × 131072)
    floor (80104.5)     		tx = 80104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628612518310547 × 217)
    floor (0.628612518310547 × 131072)
    floor (82393.5)     		ty = 82393
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80104 / 82393 ti = "17/80104/82393"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80104/82393.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80104 ÷ 217
    80104 ÷ 131072     		x = 0.61114501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82393 ÷ 217
    82393 ÷ 131072     		y = 0.628608703613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61114501953125 × 2 - 1) × π
    0.2222900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69834475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628608703613281 × 2 - 1) × π
    -0.257217407226562 × 3.1415926535     		Φ = -0.808072316895287
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69834475} λ = 0.69834475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.808072316895287))-π/2
    2×atan(0.44571643867042)-π/2
    2×0.419286008727704-π/2
    0.838572017455408-1.57079632675     		φ = -0.73222431
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69834475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.012207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73222431 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.953363°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80104 KachelY 82393 0.69834475 -0.73222431 40.012207 -41.953363
    Oben rechts KachelX + 1 80105 KachelY 82393 0.69839269 -0.73222431 40.014954 -41.953363
    Unten links KachelX 80104 KachelY + 1 82394 0.69834475 -0.73225996 40.012207 -41.955405
    Unten rechts KachelX + 1 80105 KachelY + 1 82394 0.69839269 -0.73225996 40.014954 -41.955405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73222431--0.73225996) × R
    3.56500000000537e-05 × 6371000     		dl = 227.126150000342m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73222431--0.73225996) × R
    3.56500000000537e-05 × 6371000     		dr = 227.126150000342m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69834475-0.69839269) × cos(-0.73222431) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.743689235375272 × 6371000     		do = 227.141835044904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69834475-0.69839269) × cos(-0.73225996) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.743665401969229 × 6371000     		du = 227.134555709226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73222431)-sin(-0.73225996))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.743689235375272-0.743665401969229)×R²
    abs(0.69839269-0.69834475)×2.38334060433942e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38334060433942e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38334060433942e-05×40589641000000     		ar = 51589.0238396072m²