Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80103 / 83767
↖ ↑ ↗
← S 44.697946°
E 40.009461°		 ← 217.06 m → S 44.697946°
E 40.012207°		 →
↑
217.06 m
↓
↑
217.06 m
↓
S 44.699898°
E 40.009461°		 ← 217.05 m →
47 114 m²		 S 44.699898°
E 40.012207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83767 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611141204833984 y=0.639095306396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611141204833984 × 217)
    floor (0.611141204833984 × 131072)
    floor (80103.5)     		tx = 80103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639095306396484 × 217)
    floor (0.639095306396484 × 131072)
    floor (83767.5)     		ty = 83767
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80103 / 83767 ti = "17/80103/83767"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80103/83767.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80103 ÷ 217
    80103 ÷ 131072     		x = 0.611137390136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83767 ÷ 217
    83767 ÷ 131072     		y = 0.639091491699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611137390136719 × 2 - 1) × π
    0.222274780273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.69829682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639091491699219 × 2 - 1) × π
    -0.278182983398438 × 3.1415926535     		Φ = -0.873937616973244
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69829682} λ = 0.69829682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.873937616973244))-π/2
    2×atan(0.417305122143307)-π/2
    2×0.395335005763363-π/2
    0.790670011526726-1.57079632675     		φ = -0.78012632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69829682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.009461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78012632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.697946°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80103 KachelY 83767 0.69829682 -0.78012632 40.009461 -44.697946
    Oben rechts KachelX + 1 80104 KachelY 83767 0.69834475 -0.78012632 40.012207 -44.697946
    Unten links KachelX 80103 KachelY + 1 83768 0.69829682 -0.78016039 40.009461 -44.699898
    Unten rechts KachelX + 1 80104 KachelY + 1 83768 0.69834475 -0.78016039 40.012207 -44.699898
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78012632--0.78016039) × R
    3.40699999999972e-05 × 6371000     		dl = 217.059969999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78012632--0.78016039) × R
    3.40699999999972e-05 × 6371000     		dr = 217.059969999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69829682-0.69834475) × cos(-0.78012632) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.710824694084348 × 6371000     		do = 217.058871559356m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69829682-0.69834475) × cos(-0.78016039) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.710800729882607 × 6371000     		du = 217.051553802065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78012632)-sin(-0.78016039))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710824694084348-0.710800729882607)×R²
    abs(0.69834475-0.69829682)×2.39642017410002e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39642017410002e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39642017410002e-05×40589641000000     		ar = 47113.9979571887m²