Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80103 / 82391
↖ ↑ ↗
← S 41.949277°
E 40.009461°		 ← 227.11 m → S 41.949277°
E 40.012207°		 →
↑
227.13 m
↓
↑
227.13 m
↓
S 41.951320°
E 40.009461°		 ← 227.10 m →
51 582 m²		 S 41.951320°
E 40.012207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82391 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611141204833984 y=0.628597259521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611141204833984 × 217)
    floor (0.611141204833984 × 131072)
    floor (80103.5)     		tx = 80103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628597259521484 × 217)
    floor (0.628597259521484 × 131072)
    floor (82391.5)     		ty = 82391
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80103 / 82391 ti = "17/80103/82391"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80103/82391.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80103 ÷ 217
    80103 ÷ 131072     		x = 0.611137390136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82391 ÷ 217
    82391 ÷ 131072     		y = 0.628593444824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611137390136719 × 2 - 1) × π
    0.222274780273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.69829682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628593444824219 × 2 - 1) × π
    -0.257186889648438 × 3.1415926535     		Φ = -0.807976443096046
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69829682} λ = 0.69829682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.807976443096046))-π/2
    2×atan(0.44575917324731)-π/2
    2×0.419321660026426-π/2
    0.838643320052852-1.57079632675     		φ = -0.73215301
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69829682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.009461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73215301 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.949277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80103 KachelY 82391 0.69829682 -0.73215301 40.009461 -41.949277
    Oben rechts KachelX + 1 80104 KachelY 82391 0.69834475 -0.73215301 40.012207 -41.949277
    Unten links KachelX 80103 KachelY + 1 82392 0.69829682 -0.73218866 40.009461 -41.951320
    Unten rechts KachelX + 1 80104 KachelY + 1 82392 0.69834475 -0.73218866 40.012207 -41.951320
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73215301--0.73218866) × R
    3.56500000000537e-05 × 6371000     		dl = 227.126150000342m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73215301--0.73218866) × R
    3.56500000000537e-05 × 6371000     		dr = 227.126150000342m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69829682-0.69834475) × cos(-0.73215301) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.743736899351815 × 6371000     		do = 227.109009371589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69829682-0.69834475) × cos(-0.73218866) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.743713067836144 × 6371000     		du = 227.101732131586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73215301)-sin(-0.73218866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.743736899351815-0.743713067836144)×R²
    abs(0.69834475-0.69829682)×2.38315156703139e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.38315156703139e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.38315156703139e-05×40589641000000     		ar = 51581.5685086876m²