Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80103 / 82247
↖ ↑ ↗
← S 41.654445°
E 40.009461°		 ← 228.16 m → S 41.654445°
E 40.012207°		 →
↑
228.21 m
↓
↑
228.21 m
↓
S 41.656497°
E 40.009461°		 ← 228.15 m →
52 067 m²		 S 41.656497°
E 40.012207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611141204833984 y=0.627498626708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611141204833984 × 217)
    floor (0.611141204833984 × 131072)
    floor (80103.5)     		tx = 80103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627498626708984 × 217)
    floor (0.627498626708984 × 131072)
    floor (82247.5)     		ty = 82247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80103 / 82247 ti = "17/80103/82247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80103/82247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80103 ÷ 217
    80103 ÷ 131072     		x = 0.611137390136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82247 ÷ 217
    82247 ÷ 131072     		y = 0.627494812011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611137390136719 × 2 - 1) × π
    0.222274780273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.69829682
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627494812011719 × 2 - 1) × π
    -0.254989624023438 × 3.1415926535     		Φ = -0.801073529550758
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69829682} λ = 0.69829682}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.801073529550758))-π/2
    2×atan(0.448846855021712)-π/2
    2×0.421894556106966-π/2
    0.843789112213932-1.57079632675     		φ = -0.72700721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69829682} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.009461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72700721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.654445°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80103 KachelY 82247 0.69829682 -0.72700721 40.009461 -41.654445
    Oben rechts KachelX + 1 80104 KachelY 82247 0.69834475 -0.72700721 40.012207 -41.654445
    Unten links KachelX 80103 KachelY + 1 82248 0.69829682 -0.72704303 40.009461 -41.656497
    Unten rechts KachelX + 1 80104 KachelY + 1 82248 0.69834475 -0.72704303 40.012207 -41.656497
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72700721--0.72704303) × R
    3.58200000000197e-05 × 6371000     		dl = 228.209220000126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72700721--0.72704303) × R
    3.58200000000197e-05 × 6371000     		dr = 228.209220000126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69829682-0.69834475) × cos(-0.72700721) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.74716686295692 × 6371000     		do = 228.156390020868m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69829682-0.69834475) × cos(-0.72704303) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.747143055198113 × 6371000     		du = 228.149120035309m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72700721)-sin(-0.72704303))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74716686295692-0.747143055198113)×R²
    abs(0.69834475-0.69829682)×2.38077588070595e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.38077588070595e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.38077588070595e-05×40589641000000     		ar = 52066.562271526m²