Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80102 / 83874
↖ ↑ ↗
← S 44.906468°
E 40.006714°		 ← 216.32 m → S 44.906468°
E 40.009461°		 →
↑
216.36 m
↓
↑
216.36 m
↓
S 44.908414°
E 40.006714°		 ← 216.31 m →
46 802 m²		 S 44.908414°
E 40.009461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83874 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611133575439453 y=0.639911651611328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611133575439453 × 217)
    floor (0.611133575439453 × 131072)
    floor (80102.5)     		tx = 80102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639911651611328 × 217)
    floor (0.639911651611328 × 131072)
    floor (83874.5)     		ty = 83874
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80102 / 83874 ti = "17/80102/83874"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80102/83874.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80102 ÷ 217
    80102 ÷ 131072     		x = 0.611129760742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83874 ÷ 217
    83874 ÷ 131072     		y = 0.639907836914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611129760742188 × 2 - 1) × π
    0.222259521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69824888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639907836914062 × 2 - 1) × π
    -0.279815673828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.87906686523259
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69824888} λ = 0.69824888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.87906686523259))-π/2
    2×atan(0.415170140677721)-π/2
    2×0.393515296127742-π/2
    0.787030592255483-1.57079632675     		φ = -0.78376573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69824888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.006714°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78376573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.906468°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80102 KachelY 83874 0.69824888 -0.78376573 40.006714 -44.906468
    Oben rechts KachelX + 1 80103 KachelY 83874 0.69829682 -0.78376573 40.009461 -44.906468
    Unten links KachelX 80102 KachelY + 1 83875 0.69824888 -0.78379969 40.006714 -44.908414
    Unten rechts KachelX + 1 80103 KachelY + 1 83875 0.69829682 -0.78379969 40.009461 -44.908414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78376573--0.78379969) × R
    3.39599999999995e-05 × 6371000     		dl = 216.359159999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78376573--0.78379969) × R
    3.39599999999995e-05 × 6371000     		dr = 216.359159999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69824888-0.69829682) × cos(-0.78376573) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.708260143236463 × 6371000     		do = 216.320878360862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69824888-0.69829682) × cos(-0.78379969) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.708236168713934 × 6371000     		du = 216.313555924577m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78376573)-sin(-0.78379969))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708260143236463-0.708236168713934)×R²
    abs(0.69829682-0.69824888)×2.39745225293353e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39745225293353e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39745225293353e-05×40589641000000     		ar = 46802.2113990032m²