Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80102 / 83766
↖ ↑ ↗
← S 44.695993°
E 40.006714°		 ← 217.11 m → S 44.695993°
E 40.009461°		 →
↑
217.12 m
↓
↑
217.12 m
↓
S 44.697946°
E 40.006714°		 ← 217.10 m →
47 139 m²		 S 44.697946°
E 40.009461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83766 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611133575439453 y=0.639087677001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611133575439453 × 217)
    floor (0.611133575439453 × 131072)
    floor (80102.5)     		tx = 80102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639087677001953 × 217)
    floor (0.639087677001953 × 131072)
    floor (83766.5)     		ty = 83766
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80102 / 83766 ti = "17/80102/83766"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80102/83766.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80102 ÷ 217
    80102 ÷ 131072     		x = 0.611129760742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83766 ÷ 217
    83766 ÷ 131072     		y = 0.639083862304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611129760742188 × 2 - 1) × π
    0.222259521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69824888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639083862304688 × 2 - 1) × π
    -0.278167724609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.873889680073624
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69824888} λ = 0.69824888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.873889680073624))-π/2
    2×atan(0.417325126936538)-π/2
    2×0.395352043416674-π/2
    0.790704086833348-1.57079632675     		φ = -0.78009224
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69824888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.006714°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78009224 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.695993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80102 KachelY 83766 0.69824888 -0.78009224 40.006714 -44.695993
    Oben rechts KachelX + 1 80103 KachelY 83766 0.69829682 -0.78009224 40.009461 -44.695993
    Unten links KachelX 80102 KachelY + 1 83767 0.69824888 -0.78012632 40.006714 -44.697946
    Unten rechts KachelX + 1 80103 KachelY + 1 83767 0.69829682 -0.78012632 40.009461 -44.697946
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78009224--0.78012632) × R
    3.40800000000474e-05 × 6371000     		dl = 217.123680000302m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78009224--0.78012632) × R
    3.40800000000474e-05 × 6371000     		dr = 217.123680000302m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69824888-0.69829682) × cos(-0.78009224) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.710848664494439 × 6371000     		do = 217.111479381586m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69824888-0.69829682) × cos(-0.78012632) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.710824694084348 × 6371000     		du = 217.104158201346m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78009224)-sin(-0.78012632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.710848664494439-0.710824694084348)×R²
    abs(0.69829682-0.69824888)×2.39704100906124e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39704100906124e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39704100906124e-05×40589641000000     		ar = 47139.2485774153m²