Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80102 / 18858
↖ ↑ ↗
← N 77.817529°
E 40.006714°		 ← 64.45 m → N 77.817529°
E 40.009461°		 →
↑
64.47 m
↓
↑
64.47 m
↓
N 77.816949°
E 40.006714°		 ← 64.46 m →
4 156 m²		 N 77.816949°
E 40.009461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18858 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611133575439453 y=0.143878936767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611133575439453 × 217)
    floor (0.611133575439453 × 131072)
    floor (80102.5)     		tx = 80102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143878936767578 × 217)
    floor (0.143878936767578 × 131072)
    floor (18858.5)     		ty = 18858
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80102 / 18858 ti = "17/80102/18858"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80102/18858.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80102 ÷ 217
    80102 ÷ 131072     		x = 0.611129760742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18858 ÷ 217
    18858 ÷ 131072     		y = 0.143875122070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611129760742188 × 2 - 1) × π
    0.222259521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69824888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143875122070312 × 2 - 1) × π
    0.712249755859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.23759860046498
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69824888} λ = 0.69824888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23759860046498))-π/2
    2×atan(9.37080120874415)-π/2
    2×1.46448420749811-π/2
    2.92896841499623-1.57079632675     		φ = 1.35817209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69824888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.006714°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35817209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.817529°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80102 KachelY 18858 0.69824888 1.35817209 40.006714 77.817529
    Oben rechts KachelX + 1 80103 KachelY 18858 0.69829682 1.35817209 40.009461 77.817529
    Unten links KachelX 80102 KachelY + 1 18859 0.69824888 1.35816197 40.006714 77.816949
    Unten rechts KachelX + 1 80103 KachelY + 1 18859 0.69829682 1.35816197 40.009461 77.816949
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35817209-1.35816197) × R
    1.01200000000023e-05 × 6371000     		dl = 64.474520000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35817209-1.35816197) × R
    1.01200000000023e-05 × 6371000     		dr = 64.474520000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69824888-0.69829682) × cos(1.35817209) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.211025763821702 × 6371000     		do = 64.4527000744154m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69824888-0.69829682) × cos(1.35816197) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.211035655913551 × 6371000     		du = 64.4557213738886m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35817209)-sin(1.35816197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211025763821702-0.211035655913551)×R²
    abs(0.69829682-0.69824888)×9.89209184926176e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.89209184926176e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.89209184926176e-06×40589641000000     		ar = 4155.65429846411m²