Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80102 / 18855
↖ ↑ ↗
← N 77.819267°
E 40.006714°		 ← 64.44 m → N 77.819267°
E 40.009461°		 →
↑
64.41 m
↓
↑
64.41 m
↓
N 77.818688°
E 40.006714°		 ← 64.45 m →
4 151 m²		 N 77.818688°
E 40.009461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18855 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611133575439453 y=0.143856048583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611133575439453 × 217)
    floor (0.611133575439453 × 131072)
    floor (80102.5)     		tx = 80102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143856048583984 × 217)
    floor (0.143856048583984 × 131072)
    floor (18855.5)     		ty = 18855
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80102 / 18855 ti = "17/80102/18855"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80102/18855.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80102 ÷ 217
    80102 ÷ 131072     		x = 0.611129760742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18855 ÷ 217
    18855 ÷ 131072     		y = 0.143852233886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611129760742188 × 2 - 1) × π
    0.222259521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69824888
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143852233886719 × 2 - 1) × π
    0.712295532226562 × 3.1415926535     		Φ = 2.23774241116384
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69824888} λ = 0.69824888}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23774241116384))-π/2
    2×atan(9.37214892712069)-π/2
    2×1.46449938031306-π/2
    2.92899876062613-1.57079632675     		φ = 1.35820243
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69824888} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.006714°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35820243 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.819267°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80102 KachelY 18855 0.69824888 1.35820243 40.006714 77.819267
    Oben rechts KachelX + 1 80103 KachelY 18855 0.69829682 1.35820243 40.009461 77.819267
    Unten links KachelX 80102 KachelY + 1 18856 0.69824888 1.35819232 40.006714 77.818688
    Unten rechts KachelX + 1 80103 KachelY + 1 18856 0.69829682 1.35819232 40.009461 77.818688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35820243-1.35819232) × R
    1.01100000000631e-05 × 6371000     		dl = 64.4108100004022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35820243-1.35819232) × R
    1.01100000000631e-05 × 6371000     		dr = 64.4108100004022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69824888-0.69829682) × cos(1.35820243) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.210996106966224 × 6371000     		do = 64.443642107385m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69824888-0.69829682) × cos(1.35819232) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.211005989348016 × 6371000     		du = 64.4466604411568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35820243)-sin(1.35819232))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210996106966224-0.211005989348016)×R²
    abs(0.69829682-0.69824888)×9.88238179214229e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.88238179214229e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.88238179214229e-06×40589641000000     		ar = 4150.96439408094m²