Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80101 / 83723
↖ ↑ ↗
← S 44.611978°
E 40.003967°		 ← 217.43 m → S 44.611978°
E 40.006714°		 →
↑
217.44 m
↓
↑
217.44 m
↓
S 44.613934°
E 40.003967°		 ← 217.42 m →
47 277 m²		 S 44.613934°
E 40.006714°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83723 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611125946044922 y=0.638759613037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611125946044922 × 217)
    floor (0.611125946044922 × 131072)
    floor (80101.5)     		tx = 80101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638759613037109 × 217)
    floor (0.638759613037109 × 131072)
    floor (83723.5)     		ty = 83723
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80101 / 83723 ti = "17/80101/83723"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80101/83723.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80101 ÷ 217
    80101 ÷ 131072     		x = 0.611122131347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83723 ÷ 217
    83723 ÷ 131072     		y = 0.638755798339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611122131347656 × 2 - 1) × π
    0.222244262695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.69820094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638755798339844 × 2 - 1) × π
    -0.277511596679688 × 3.1415926535     		Φ = -0.871828393389961
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69820094} λ = 0.69820094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.871828393389961))-π/2
    2×atan(0.418186240859883)-π/2
    2×0.396085205936869-π/2
    0.792170411873739-1.57079632675     		φ = -0.77862591
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69820094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.003967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77862591 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.611978°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80101 KachelY 83723 0.69820094 -0.77862591 40.003967 -44.611978
    Oben rechts KachelX + 1 80102 KachelY 83723 0.69824888 -0.77862591 40.006714 -44.611978
    Unten links KachelX 80101 KachelY + 1 83724 0.69820094 -0.77866004 40.003967 -44.613934
    Unten rechts KachelX + 1 80102 KachelY + 1 83724 0.69824888 -0.77866004 40.006714 -44.613934
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77862591--0.77866004) × R
    3.41299999999656e-05 × 6371000     		dl = 217.442229999781m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77862591--0.77866004) × R
    3.41299999999656e-05 × 6371000     		dr = 217.442229999781m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69820094-0.69824888) × cos(-0.77862591) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.71187923577919 × 6371000     		do = 217.426242378351m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69820094-0.69824888) × cos(-0.77866004) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.711855265800853 × 6371000     		du = 217.41892132998m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77862591)-sin(-0.77866004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.71187923577919-0.711855265800853)×R²
    abs(0.69824888-0.69820094)×2.39699783376457e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39699783376457e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39699783376457e-05×40589641000000     		ar = 47276.8510552475m²