Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80101 / 18852
↖ ↑ ↗
← N 77.821006°
E 40.003967°		 ← 64.43 m → N 77.821006°
E 40.006714°		 →
↑
64.47 m
↓
↑
64.47 m
↓
N 77.820426°
E 40.003967°		 ← 64.44 m →
4 154 m²		 N 77.820426°
E 40.006714°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611125946044922 y=0.143833160400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611125946044922 × 217)
    floor (0.611125946044922 × 131072)
    floor (80101.5)     		tx = 80101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143833160400391 × 217)
    floor (0.143833160400391 × 131072)
    floor (18852.5)     		ty = 18852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80101 / 18852 ti = "17/80101/18852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80101/18852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80101 ÷ 217
    80101 ÷ 131072     		x = 0.611122131347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18852 ÷ 217
    18852 ÷ 131072     		y = 0.143829345703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611122131347656 × 2 - 1) × π
    0.222244262695312 × 3.1415926535     		Λ = 0.69820094
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143829345703125 × 2 - 1) × π
    0.71234130859375 × 3.1415926535     		Φ = 2.2378862218627
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69820094} λ = 0.69820094}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2378862218627))-π/2
    2×atan(9.3734968393275)-π/2
    2×1.46451455099527-π/2
    2.92902910199054-1.57079632675     		φ = 1.35823278
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69820094} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.003967°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35823278 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.821006°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80101 KachelY 18852 0.69820094 1.35823278 40.003967 77.821006
    Oben rechts KachelX + 1 80102 KachelY 18852 0.69824888 1.35823278 40.006714 77.821006
    Unten links KachelX 80101 KachelY + 1 18853 0.69820094 1.35822266 40.003967 77.820426
    Unten rechts KachelX + 1 80102 KachelY + 1 18853 0.69824888 1.35822266 40.006714 77.820426
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35823278-1.35822266) × R
    1.01200000000023e-05 × 6371000     		dl = 64.474520000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35823278-1.35822266) × R
    1.01200000000023e-05 × 6371000     		dr = 64.474520000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69820094-0.69824888) × cos(1.35823278) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.210966440141587 × 6371000     		do = 64.4345810953677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69820094-0.69824888) × cos(1.35822266) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.21097633236303 × 6371000     		du = 64.437602434422m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35823278)-sin(1.35822266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.210966440141587-0.21097633236303)×R²
    abs(0.69824888-0.69820094)×9.89222144245905e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.89222144245905e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.89222144245905e-06×40589641000000     		ar = 4154.4860872613m²