Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80100 / 83901
↖ ↑ ↗
← S 44.958967°
E 40.001221°		 ← 216.08 m → S 44.958967°
E 40.003967°		 →
↑
216.10 m
↓
↑
216.10 m
↓
S 44.960911°
E 40.001221°		 ← 216.07 m →
46 695 m²		 S 44.960911°
E 40.003967°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611118316650391 y=0.640117645263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611118316650391 × 217)
    floor (0.611118316650391 × 131072)
    floor (80100.5)     		tx = 80100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.640117645263672 × 217)
    floor (0.640117645263672 × 131072)
    floor (83901.5)     		ty = 83901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80100 / 83901 ti = "17/80100/83901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80100/83901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80100 ÷ 217
    80100 ÷ 131072     		x = 0.611114501953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83901 ÷ 217
    83901 ÷ 131072     		y = 0.640113830566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611114501953125 × 2 - 1) × π
    0.22222900390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69815301
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640113830566406 × 2 - 1) × π
    -0.280227661132812 × 3.1415926535     		Φ = -0.880361161522331
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69815301} λ = 0.69815301}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.880361161522331))-π/2
    2×atan(0.414633135102158)-π/2
    2×0.393057156291638-π/2
    0.786114312583276-1.57079632675     		φ = -0.78468201
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69815301} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.001221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78468201 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.958967°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80100 KachelY 83901 0.69815301 -0.78468201 40.001221 -44.958967
    Oben rechts KachelX + 1 80101 KachelY 83901 0.69820094 -0.78468201 40.003967 -44.958967
    Unten links KachelX 80100 KachelY + 1 83902 0.69815301 -0.78471593 40.001221 -44.960911
    Unten rechts KachelX + 1 80101 KachelY + 1 83902 0.69820094 -0.78471593 40.003967 -44.960911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78468201--0.78471593) × R
    3.39199999999096e-05 × 6371000     		dl = 216.104319999424m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78468201--0.78471593) × R
    3.39199999999096e-05 × 6371000     		dr = 216.104319999424m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69815301-0.69820094) × cos(-0.78468201) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.707612996738036 × 6371000     		do = 216.078141138442m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69815301-0.69820094) × cos(-0.78471593) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.707589028452077 × 6371000     		du = 216.070822133986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78468201)-sin(-0.78471593))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.707612996738036-0.707589028452077)×R²
    abs(0.69820094-0.69815301)×2.39682859581869e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39682859581869e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39682859581869e-05×40589641000000     		ar = 46694.6289276358m²