Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 801 / 865
↖ ↑ ↗
← N 80.408388°
W144.799805°		 ← 814.21 m → N 80.408388°
W144.755860°		 →
↑
814.47 m
↓
↑
814.47 m
↓
N 80.401063°
W144.799805°		 ← 814.82 m →
663 399 m²		 N 80.401063°
W144.755860°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 801 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.09783935546875 y=0.10565185546875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.09783935546875 × 213)
    floor (0.09783935546875 × 8192)
    floor (801.5)     		tx = 801
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.10565185546875 × 213)
    floor (0.10565185546875 × 8192)
    floor (865.5)     		ty = 865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 801 / 865 ti = "13/801/865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/801/865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 801 ÷ 213
    801 ÷ 8192     		x = 0.0977783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 865 ÷ 213
    865 ÷ 8192     		y = 0.1055908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.0977783203125 × 2 - 1) × π
    -0.804443359375 × 3.1415926535     		Λ = -2.52723335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1055908203125 × 2 - 1) × π
    0.788818359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.47814596275842
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.52723335} λ = -2.52723335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47814596275842))-π/2
    2×atan(11.9191453800029)-π/2
    2×1.48709372050598-π/2
    2.97418744101195-1.57079632675     		φ = 1.40339111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.52723335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -144.799805°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40339111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.408388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 801 KachelY 865 -2.52723335 1.40339111 -144.799805 80.408388
    Oben rechts KachelX + 1 802 KachelY 865 -2.52646636 1.40339111 -144.755860 80.408388
    Unten links KachelX 801 KachelY + 1 866 -2.52723335 1.40326327 -144.799805 80.401063
    Unten rechts KachelX + 1 802 KachelY + 1 866 -2.52646636 1.40326327 -144.755860 80.401063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40339111-1.40326327) × R
    0.00012783999999999 × 6371000     		dl = 814.468639999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40339111-1.40326327) × R
    0.00012783999999999 × 6371000     		dr = 814.468639999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.52723335--2.52646636) × cos(1.40339111) × R
    0.000766989999999801 × 0.166624403592785 × 6371000     		do = 814.209030106187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.52723335--2.52646636) × cos(1.40326327) × R
    0.000766989999999801 × 0.166750455083917 × 6371000     		du = 814.824979871794m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40339111)-sin(1.40326327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166624403592785-0.166750455083917)×R²
    abs(-2.52646636--2.52723335)×0.000126051491131374×R²
    0.000766989999999801×0.000126051491131374×6371000²
    0.000766989999999801×0.000126051491131374×40589641000000     		ar = 663398.558213984m²