Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80099 / 83724
↖ ↑ ↗
← S 44.613934°
E 39.998474°		 ← 217.42 m → S 44.613934°
E 40.001221°		 →
↑
217.38 m
↓
↑
217.38 m
↓
S 44.615889°
E 39.998474°		 ← 217.41 m →
47 261 m²		 S 44.615889°
E 40.001221°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83724 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611110687255859 y=0.638767242431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611110687255859 × 217)
    floor (0.611110687255859 × 131072)
    floor (80099.5)     		tx = 80099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638767242431641 × 217)
    floor (0.638767242431641 × 131072)
    floor (83724.5)     		ty = 83724
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80099 / 83724 ti = "17/80099/83724"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80099/83724.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80099 ÷ 217
    80099 ÷ 131072     		x = 0.611106872558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83724 ÷ 217
    83724 ÷ 131072     		y = 0.638763427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611106872558594 × 2 - 1) × π
    0.222213745117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.69810507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638763427734375 × 2 - 1) × π
    -0.27752685546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.871876330289581
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69810507} λ = 0.69810507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.871876330289581))-π/2
    2×atan(0.418166194788509)-π/2
    2×0.396068143582436-π/2
    0.792136287164871-1.57079632675     		φ = -0.77866004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69810507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.998474°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77866004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.613934°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80099 KachelY 83724 0.69810507 -0.77866004 39.998474 -44.613934
    Oben rechts KachelX + 1 80100 KachelY 83724 0.69815301 -0.77866004 40.001221 -44.613934
    Unten links KachelX 80099 KachelY + 1 83725 0.69810507 -0.77869416 39.998474 -44.615889
    Unten rechts KachelX + 1 80100 KachelY + 1 83725 0.69815301 -0.77869416 40.001221 -44.615889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77866004--0.77869416) × R
    3.41200000000264e-05 × 6371000     		dl = 217.378520000168m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77866004--0.77869416) × R
    3.41200000000264e-05 × 6371000     		dr = 217.378520000168m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69810507-0.69815301) × cos(-0.77866004) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.711855265800853 × 6371000     		do = 217.41892132998m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69810507-0.69815301) × cos(-0.77869416) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.71183130201681 × 6371000     		du = 217.411602173505m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77866004)-sin(-0.77869416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.711855265800853-0.71183130201681)×R²
    abs(0.69815301-0.69810507)×2.39637840424578e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39637840424578e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39637840424578e-05×40589641000000     		ar = 47261.4078296938m²