Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80096 / 18853
↖ ↑ ↗
← N 77.820426°
E 39.990234°		 ← 64.44 m → N 77.820426°
E 39.992981°		 →
↑
64.41 m
↓
↑
64.41 m
↓
N 77.819847°
E 39.990234°		 ← 64.44 m →
4 151 m²		 N 77.819847°
E 39.992981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18853 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611087799072266 y=0.143840789794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611087799072266 × 217)
    floor (0.611087799072266 × 131072)
    floor (80096.5)     		tx = 80096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143840789794922 × 217)
    floor (0.143840789794922 × 131072)
    floor (18853.5)     		ty = 18853
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80096 / 18853 ti = "17/80096/18853"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80096/18853.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80096 ÷ 217
    80096 ÷ 131072     		x = 0.611083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18853 ÷ 217
    18853 ÷ 131072     		y = 0.143836975097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611083984375 × 2 - 1) × π
    0.22216796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.69796126
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143836975097656 × 2 - 1) × π
    0.712326049804688 × 3.1415926535     		Φ = 2.23783828496308
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69796126} λ = 0.69796126}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23783828496308))-π/2
    2×atan(9.37304751372015)-π/2
    2×1.46450949433816-π/2
    2.92901898867631-1.57079632675     		φ = 1.35822266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69796126} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.990234°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35822266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.820426°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80096 KachelY 18853 0.69796126 1.35822266 39.990234 77.820426
    Oben rechts KachelX + 1 80097 KachelY 18853 0.69800920 1.35822266 39.992981 77.820426
    Unten links KachelX 80096 KachelY + 1 18854 0.69796126 1.35821255 39.990234 77.819847
    Unten rechts KachelX + 1 80097 KachelY + 1 18854 0.69800920 1.35821255 39.992981 77.819847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35822266-1.35821255) × R
    1.01100000000631e-05 × 6371000     		dl = 64.4108100004022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35822266-1.35821255) × R
    1.01100000000631e-05 × 6371000     		dr = 64.4108100004022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69796126-0.69800920) × cos(1.35822266) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.21097633236303 × 6371000     		do = 64.437602434422m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69796126-0.69800920) × cos(1.35821255) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.210986214787975 × 6371000     		du = 64.4406207813739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35822266)-sin(1.35821255))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21097633236303-0.210986214787975)×R²
    abs(0.69800920-0.69796126)×9.88242494517899e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.88242494517899e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.88242494517899e-06×40589641000000     		ar = 4150.57537437791m²