Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80095 / 83875
↖ ↑ ↗
← S 44.908414°
E 39.987488°		 ← 216.31 m → S 44.908414°
E 39.990234°		 →
↑
216.30 m
↓
↑
216.30 m
↓
S 44.910359°
E 39.987488°		 ← 216.31 m →
46 787 m²		 S 44.910359°
E 39.990234°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611080169677734 y=0.639919281005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611080169677734 × 217)
    floor (0.611080169677734 × 131072)
    floor (80095.5)     		tx = 80095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639919281005859 × 217)
    floor (0.639919281005859 × 131072)
    floor (83875.5)     		ty = 83875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80095 / 83875 ti = "17/80095/83875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80095/83875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80095 ÷ 217
    80095 ÷ 131072     		x = 0.611076354980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83875 ÷ 217
    83875 ÷ 131072     		y = 0.639915466308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611076354980469 × 2 - 1) × π
    0.222152709960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.69791332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639915466308594 × 2 - 1) × π
    -0.279830932617188 × 3.1415926535     		Φ = -0.87911480213221
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69791332} λ = 0.69791332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.87911480213221))-π/2
    2×atan(0.415150239185374)-π/2
    2×0.393498320517365-π/2
    0.786996641034729-1.57079632675     		φ = -0.78379969
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69791332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.987488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78379969 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.908414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80095 KachelY 83875 0.69791332 -0.78379969 39.987488 -44.908414
    Oben rechts KachelX + 1 80096 KachelY 83875 0.69796126 -0.78379969 39.990234 -44.908414
    Unten links KachelX 80095 KachelY + 1 83876 0.69791332 -0.78383364 39.987488 -44.910359
    Unten rechts KachelX + 1 80096 KachelY + 1 83876 0.69796126 -0.78383364 39.990234 -44.910359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78379969--0.78383364) × R
    3.39499999999493e-05 × 6371000     		dl = 216.295449999677m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78379969--0.78383364) × R
    3.39499999999493e-05 × 6371000     		dr = 216.295449999677m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69791332-0.69796126) × cos(-0.78379969) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.708236168713934 × 6371000     		do = 216.313555924577m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69791332-0.69796126) × cos(-0.78383364) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.708212200434605 × 6371000     		du = 216.306235395127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78379969)-sin(-0.78383364))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708236168713934-0.708212200434605)×R²
    abs(0.69796126-0.69791332)×2.39682793286011e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39682793286011e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39682793286011e-05×40589641000000     		ar = 46786.8462256985m²