Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80094 / 82593
↖ ↑ ↗
← S 42.360573°
E 39.984741°		 ← 225.68 m → S 42.360573°
E 39.987488°		 →
↑
225.66 m
↓
↑
225.66 m
↓
S 42.362603°
E 39.984741°		 ← 225.68 m →
50 927 m²		 S 42.362603°
E 39.987488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611072540283203 y=0.630138397216797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611072540283203 × 217)
    floor (0.611072540283203 × 131072)
    floor (80094.5)     		tx = 80094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630138397216797 × 217)
    floor (0.630138397216797 × 131072)
    floor (82593.5)     		ty = 82593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80094 / 82593 ti = "17/80094/82593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80094/82593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80094 ÷ 217
    80094 ÷ 131072     		x = 0.611068725585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82593 ÷ 217
    82593 ÷ 131072     		y = 0.630134582519531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611068725585938 × 2 - 1) × π
    0.222137451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.69786538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630134582519531 × 2 - 1) × π
    -0.260269165039062 × 3.1415926535     		Φ = -0.817659696819298
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69786538} λ = 0.69786538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.817659696819298))-π/2
    2×atan(0.441463605175638)-π/2
    2×0.415732423517577-π/2
    0.831464847035153-1.57079632675     		φ = -0.73933148
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69786538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.984741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73933148 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.360573°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80094 KachelY 82593 0.69786538 -0.73933148 39.984741 -42.360573
    Oben rechts KachelX + 1 80095 KachelY 82593 0.69791332 -0.73933148 39.987488 -42.360573
    Unten links KachelX 80094 KachelY + 1 82594 0.69786538 -0.73936690 39.984741 -42.362603
    Unten rechts KachelX + 1 80095 KachelY + 1 82594 0.69791332 -0.73936690 39.987488 -42.362603
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73933148--0.73936690) × R
    3.54200000000082e-05 × 6371000     		dl = 225.660820000052m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73933148--0.73936690) × R
    3.54200000000082e-05 × 6371000     		dr = 225.660820000052m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69786538-0.69791332) × cos(-0.73933148) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.738919168632888 × 6371000     		do = 225.684933879737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69786538-0.69791332) × cos(-0.73936690) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.738895302383064 × 6371000     		du = 225.677644512723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73933148)-sin(-0.73936690))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.738919168632888-0.738895302383064)×R²
    abs(0.69791332-0.69786538)×2.38662498234232e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38662498234232e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38662498234232e-05×40589641000000     		ar = 50927.4247840637m²