Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80093 / 82280
↖ ↑ ↗
← S 41.722131°
E 39.981995°		 ← 227.92 m → S 41.722131°
E 39.984741°		 →
↑
227.95 m
↓
↑
227.95 m
↓
S 41.724181°
E 39.981995°		 ← 227.91 m →
51 954 m²		 S 41.724181°
E 39.984741°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82280 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611064910888672 y=0.627750396728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611064910888672 × 217)
    floor (0.611064910888672 × 131072)
    floor (80093.5)     		tx = 80093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627750396728516 × 217)
    floor (0.627750396728516 × 131072)
    floor (82280.5)     		ty = 82280
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80093 / 82280 ti = "17/80093/82280"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80093/82280.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80093 ÷ 217
    80093 ÷ 131072     		x = 0.611061096191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82280 ÷ 217
    82280 ÷ 131072     		y = 0.62774658203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611061096191406 × 2 - 1) × π
    0.222122192382812 × 3.1415926535     		Λ = 0.69781745
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62774658203125 × 2 - 1) × π
    -0.2554931640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.80265544723822
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69781745} λ = 0.69781745}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.80265544723822))-π/2
    2×atan(0.448137377558219)-π/2
    2×0.421303888577273-π/2
    0.842607777154547-1.57079632675     		φ = -0.72818855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69781745} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.981995°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72818855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.722131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80093 KachelY 82280 0.69781745 -0.72818855 39.981995 -41.722131
    Oben rechts KachelX + 1 80094 KachelY 82280 0.69786538 -0.72818855 39.984741 -41.722131
    Unten links KachelX 80093 KachelY + 1 82281 0.69781745 -0.72822433 39.981995 -41.724181
    Unten rechts KachelX + 1 80094 KachelY + 1 82281 0.69786538 -0.72822433 39.984741 -41.724181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72818855--0.72822433) × R
    3.57799999999298e-05 × 6371000     		dl = 227.954379999552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72818855--0.72822433) × R
    3.57799999999298e-05 × 6371000     		dr = 227.954379999552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69781745-0.69786538) × cos(-0.72818855) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.746381180095463 × 6371000     		do = 227.916472307886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69781745-0.69786538) × cos(-0.72822433) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.746357367358783 × 6371000     		du = 227.909200802273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72818855)-sin(-0.72822433))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746381180095463-0.746357367358783)×R²
    abs(0.69786538-0.69781745)×2.38127366799512e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38127366799512e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38127366799512e-05×40589641000000     		ar = 51953.7293563072m²