Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80092 / 83849
↖ ↑ ↗
← S 44.857816°
E 39.979248°		 ← 216.50 m → S 44.857816°
E 39.981995°		 →
↑
216.49 m
↓
↑
216.49 m
↓
S 44.859763°
E 39.979248°		 ← 216.50 m →
46 869 m²		 S 44.859763°
E 39.981995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83849 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611057281494141 y=0.639720916748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611057281494141 × 217)
    floor (0.611057281494141 × 131072)
    floor (80092.5)     		tx = 80092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639720916748047 × 217)
    floor (0.639720916748047 × 131072)
    floor (83849.5)     		ty = 83849
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80092 / 83849 ti = "17/80092/83849"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80092/83849.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80092 ÷ 217
    80092 ÷ 131072     		x = 0.611053466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83849 ÷ 217
    83849 ÷ 131072     		y = 0.639717102050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611053466796875 × 2 - 1) × π
    0.22210693359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69776951
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639717102050781 × 2 - 1) × π
    -0.279434204101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.877868442742088
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69776951} λ = 0.69776951}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.877868442742088))-π/2
    2×atan(0.415667988167923)-π/2
    2×0.393939873093938-π/2
    0.787879746187876-1.57079632675     		φ = -0.78291658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69776951} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.979248°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78291658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.857816°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80092 KachelY 83849 0.69776951 -0.78291658 39.979248 -44.857816
    Oben rechts KachelX + 1 80093 KachelY 83849 0.69781745 -0.78291658 39.981995 -44.857816
    Unten links KachelX 80092 KachelY + 1 83850 0.69776951 -0.78295056 39.979248 -44.859763
    Unten rechts KachelX + 1 80093 KachelY + 1 83850 0.69781745 -0.78295056 39.981995 -44.859763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78291658--0.78295056) × R
    3.3979999999989e-05 × 6371000     		dl = 216.48657999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78291658--0.78295056) × R
    3.3979999999989e-05 × 6371000     		dr = 216.48657999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69776951-0.69781745) × cos(-0.78291658) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.708859346562708 × 6371000     		do = 216.50389047969m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69776951-0.69781745) × cos(-0.78295056) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.708835378365188 × 6371000     		du = 216.496569975226m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78291658)-sin(-0.78295056))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708859346562708-0.708835378365188)×R²
    abs(0.69781745-0.69776951)×2.39681975200412e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39681975200412e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39681975200412e-05×40589641000000     		ar = 46869.3944156365m²