Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80091 / 82287
↖ ↑ ↗
← S 41.736479°
E 39.976501°		 ← 227.91 m → S 41.736479°
E 39.979248°		 →
↑
227.89 m
↓
↑
227.89 m
↓
S 41.738529°
E 39.976501°		 ← 227.91 m →
51 938 m²		 S 41.738529°
E 39.979248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611049652099609 y=0.627803802490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611049652099609 × 217)
    floor (0.611049652099609 × 131072)
    floor (80091.5)     		tx = 80091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627803802490234 × 217)
    floor (0.627803802490234 × 131072)
    floor (82287.5)     		ty = 82287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80091 / 82287 ti = "17/80091/82287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80091/82287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80091 ÷ 217
    80091 ÷ 131072     		x = 0.611045837402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82287 ÷ 217
    82287 ÷ 131072     		y = 0.627799987792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611045837402344 × 2 - 1) × π
    0.222091674804688 × 3.1415926535     		Λ = 0.69772157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627799987792969 × 2 - 1) × π
    -0.255599975585938 × 3.1415926535     		Φ = -0.802991005535561
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69772157} λ = 0.69772157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.802991005535561))-π/2
    2×atan(0.447987026570002)-π/2
    2×0.42117867536141-π/2
    0.842357350722821-1.57079632675     		φ = -0.72843898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69772157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.976501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72843898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.736479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80091 KachelY 82287 0.69772157 -0.72843898 39.976501 -41.736479
    Oben rechts KachelX + 1 80092 KachelY 82287 0.69776951 -0.72843898 39.979248 -41.736479
    Unten links KachelX 80091 KachelY + 1 82288 0.69772157 -0.72847475 39.976501 -41.738529
    Unten rechts KachelX + 1 80092 KachelY + 1 82288 0.69776951 -0.72847475 39.979248 -41.738529
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72843898--0.72847475) × R
    3.57699999999905e-05 × 6371000     		dl = 227.89066999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72843898--0.72847475) × R
    3.57699999999905e-05 × 6371000     		dr = 227.89066999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69772157-0.69776951) × cos(-0.72843898) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.746214490845586 × 6371000     		do = 227.913113065087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69772157-0.69776951) × cos(-0.72847475) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.746190678079219 × 6371000     		du = 227.905840033298m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72843898)-sin(-0.72847475))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746214490845586-0.746190678079219)×R²
    abs(0.69776951-0.69772157)×2.38127663667598e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38127663667598e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38127663667598e-05×40589641000000     		ar = 51938.4433157208m²