Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80091 / 82279
↖ ↑ ↗
← S 41.720081°
E 39.976501°		 ← 227.97 m → S 41.720081°
E 39.979248°		 →
↑
227.95 m
↓
↑
227.95 m
↓
S 41.722131°
E 39.976501°		 ← 227.96 m →
51 966 m²		 S 41.722131°
E 39.979248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82279 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611049652099609 y=0.627742767333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611049652099609 × 217)
    floor (0.611049652099609 × 131072)
    floor (80091.5)     		tx = 80091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627742767333984 × 217)
    floor (0.627742767333984 × 131072)
    floor (82279.5)     		ty = 82279
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80091 / 82279 ti = "17/80091/82279"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80091/82279.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80091 ÷ 217
    80091 ÷ 131072     		x = 0.611045837402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82279 ÷ 217
    82279 ÷ 131072     		y = 0.627738952636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611045837402344 × 2 - 1) × π
    0.222091674804688 × 3.1415926535     		Λ = 0.69772157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627738952636719 × 2 - 1) × π
    -0.255477905273438 × 3.1415926535     		Φ = -0.8026075103386
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69772157} λ = 0.69772157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.8026075103386))-π/2
    2×atan(0.448158860389609)-π/2
    2×0.421321778462498-π/2
    0.842643556924995-1.57079632675     		φ = -0.72815277
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69772157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.976501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72815277 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.720081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80091 KachelY 82279 0.69772157 -0.72815277 39.976501 -41.720081
    Oben rechts KachelX + 1 80092 KachelY 82279 0.69776951 -0.72815277 39.979248 -41.720081
    Unten links KachelX 80091 KachelY + 1 82280 0.69772157 -0.72818855 39.976501 -41.722131
    Unten rechts KachelX + 1 80092 KachelY + 1 82280 0.69776951 -0.72818855 39.979248 -41.722131
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72815277--0.72818855) × R
    3.57800000000408e-05 × 6371000     		dl = 227.95438000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72815277--0.72818855) × R
    3.57800000000408e-05 × 6371000     		dr = 227.95438000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69772157-0.69776951) × cos(-0.72815277) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.74640499187662 × 6371000     		do = 227.971296983461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69772157-0.69776951) × cos(-0.72818855) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.746381180095463 × 6371000     		du = 227.964024252581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72815277)-sin(-0.72818855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74640499187662-0.746381180095463)×R²
    abs(0.69776951-0.69772157)×2.38117811566241e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38117811566241e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38117811566241e-05×40589641000000     		ar = 51966.2267419306m²