Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80088 / 83832
↖ ↑ ↗
← S 44.824709°
E 39.968262°		 ← 216.63 m → S 44.824709°
E 39.971008°		 →
↑
216.61 m
↓
↑
216.61 m
↓
S 44.826657°
E 39.968262°		 ← 216.62 m →
46 924 m²		 S 44.826657°
E 39.971008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611026763916016 y=0.639591217041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611026763916016 × 217)
    floor (0.611026763916016 × 131072)
    floor (80088.5)     		tx = 80088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639591217041016 × 217)
    floor (0.639591217041016 × 131072)
    floor (83832.5)     		ty = 83832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80088 / 83832 ti = "17/80088/83832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80088/83832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80088 ÷ 217
    80088 ÷ 131072     		x = 0.61102294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83832 ÷ 217
    83832 ÷ 131072     		y = 0.63958740234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61102294921875 × 2 - 1) × π
    0.2220458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69757776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63958740234375 × 2 - 1) × π
    -0.2791748046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.877053515448547
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69757776} λ = 0.69757776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.877053515448547))-π/2
    2×atan(0.416006865417939)-π/2
    2×0.394228790520283-π/2
    0.788457581040566-1.57079632675     		φ = -0.78233875
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69757776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.968262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78233875 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.824709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80088 KachelY 83832 0.69757776 -0.78233875 39.968262 -44.824709
    Oben rechts KachelX + 1 80089 KachelY 83832 0.69762570 -0.78233875 39.971008 -44.824709
    Unten links KachelX 80088 KachelY + 1 83833 0.69757776 -0.78237275 39.968262 -44.826657
    Unten rechts KachelX + 1 80089 KachelY + 1 83833 0.69762570 -0.78237275 39.971008 -44.826657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78233875--0.78237275) × R
    3.39999999999785e-05 × 6371000     		dl = 216.613999999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78233875--0.78237275) × R
    3.39999999999785e-05 × 6371000     		dr = 216.613999999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69757776-0.69762570) × cos(-0.78233875) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.709266800510727 × 6371000     		do = 216.628337403279m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69757776-0.69762570) × cos(-0.78237275) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.709242832135902 × 6371000     		du = 216.621016844662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78233875)-sin(-0.78237275))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709266800510727-0.709242832135902)×R²
    abs(0.69762570-0.69757776)×2.39683748252117e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39683748252117e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39683748252117e-05×40589641000000     		ar = 46923.9378150037m²