Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80088 / 82248
↖ ↑ ↗
← S 41.656497°
E 39.968262°		 ← 228.20 m → S 41.656497°
E 39.971008°		 →
↑
228.21 m
↓
↑
228.21 m
↓
S 41.658549°
E 39.968262°		 ← 228.19 m →
52 076 m²		 S 41.658549°
E 39.971008°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82248 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611026763916016 y=0.627506256103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611026763916016 × 217)
    floor (0.611026763916016 × 131072)
    floor (80088.5)     		tx = 80088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627506256103516 × 217)
    floor (0.627506256103516 × 131072)
    floor (82248.5)     		ty = 82248
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80088 / 82248 ti = "17/80088/82248"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80088/82248.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80088 ÷ 217
    80088 ÷ 131072     		x = 0.61102294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82248 ÷ 217
    82248 ÷ 131072     		y = 0.62750244140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.61102294921875 × 2 - 1) × π
    0.2220458984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69757776
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62750244140625 × 2 - 1) × π
    -0.2550048828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.801121466450378
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69757776} λ = 0.69757776}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.801121466450378))-π/2
    2×atan(0.448825339210782)-π/2
    2×0.421876647960872-π/2
    0.843753295921744-1.57079632675     		φ = -0.72704303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69757776} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.968262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72704303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.656497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80088 KachelY 82248 0.69757776 -0.72704303 39.968262 -41.656497
    Oben rechts KachelX + 1 80089 KachelY 82248 0.69762570 -0.72704303 39.971008 -41.656497
    Unten links KachelX 80088 KachelY + 1 82249 0.69757776 -0.72707885 39.968262 -41.658549
    Unten rechts KachelX + 1 80089 KachelY + 1 82249 0.69762570 -0.72707885 39.971008 -41.658549
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72704303--0.72707885) × R
    3.58200000000197e-05 × 6371000     		dl = 228.209220000126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72704303--0.72707885) × R
    3.58200000000197e-05 × 6371000     		dr = 228.209220000126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69757776-0.69762570) × cos(-0.72704303) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.747143055198113 × 6371000     		do = 228.196720519595m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69757776-0.69762570) × cos(-0.72707885) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.747119246480667 × 6371000     		du = 228.18944872445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72704303)-sin(-0.72707885))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.747143055198113-0.747119246480667)×R²
    abs(0.69762570-0.69757776)×2.38087174457835e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38087174457835e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38087174457835e-05×40589641000000     		ar = 52075.7658565746m²