Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80087 / 83834
↖ ↑ ↗
← S 44.828604°
E 39.965515°		 ← 216.57 m → S 44.828604°
E 39.968262°		 →
↑
216.61 m
↓
↑
216.61 m
↓
S 44.830552°
E 39.965515°		 ← 216.56 m →
46 911 m²		 S 44.830552°
E 39.968262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83834 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611019134521484 y=0.639606475830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611019134521484 × 217)
    floor (0.611019134521484 × 131072)
    floor (80087.5)     		tx = 80087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639606475830078 × 217)
    floor (0.639606475830078 × 131072)
    floor (83834.5)     		ty = 83834
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80087 / 83834 ti = "17/80087/83834"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80087/83834.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80087 ÷ 217
    80087 ÷ 131072     		x = 0.611015319824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83834 ÷ 217
    83834 ÷ 131072     		y = 0.639602661132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611015319824219 × 2 - 1) × π
    0.222030639648438 × 3.1415926535     		Λ = 0.69752983
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639602661132812 × 2 - 1) × π
    -0.279205322265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.877149389247788
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69752983} λ = 0.69752983}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.877149389247788))-π/2
    2×atan(0.415966983171103)-π/2
    2×0.394194791617671-π/2
    0.788389583235343-1.57079632675     		φ = -0.78240674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69752983} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.965515°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78240674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.828604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80087 KachelY 83834 0.69752983 -0.78240674 39.965515 -44.828604
    Oben rechts KachelX + 1 80088 KachelY 83834 0.69757776 -0.78240674 39.968262 -44.828604
    Unten links KachelX 80087 KachelY + 1 83835 0.69752983 -0.78244074 39.965515 -44.830552
    Unten rechts KachelX + 1 80088 KachelY + 1 83835 0.69757776 -0.78244074 39.968262 -44.830552
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78240674--0.78244074) × R
    3.39999999999785e-05 × 6371000     		dl = 216.613999999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78240674--0.78244074) × R
    3.39999999999785e-05 × 6371000     		dr = 216.613999999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69752983-0.69757776) × cos(-0.78240674) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.709218869991076 × 6371000     		do = 216.568513854914m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69752983-0.69757776) × cos(-0.78244074) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.70919489997675 × 6371000     		du = 216.56119432268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78240674)-sin(-0.78244074))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709218869991076-0.70919489997675)×R²
    abs(0.69757776-0.69752983)×2.39700143258581e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39700143258581e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39700143258581e-05×40589641000000     		ar = 46910.9793081122m²