Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80086 / 82258
↖ ↑ ↗
← S 41.677015°
E 39.962769°		 ← 228.12 m → S 41.677015°
E 39.965515°		 →
↑
228.08 m
↓
↑
228.08 m
↓
S 41.679066°
E 39.962769°		 ← 228.12 m →
52 030 m²		 S 41.679066°
E 39.965515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611011505126953 y=0.627582550048828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611011505126953 × 217)
    floor (0.611011505126953 × 131072)
    floor (80086.5)     		tx = 80086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627582550048828 × 217)
    floor (0.627582550048828 × 131072)
    floor (82258.5)     		ty = 82258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80086 / 82258 ti = "17/80086/82258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80086/82258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80086 ÷ 217
    80086 ÷ 131072     		x = 0.611007690429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82258 ÷ 217
    82258 ÷ 131072     		y = 0.627578735351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611007690429688 × 2 - 1) × π
    0.222015380859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69748189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627578735351562 × 2 - 1) × π
    -0.255157470703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.801600835446579
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69748189} λ = 0.69748189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.801600835446579))-π/2
    2×atan(0.448610237819044)-π/2
    2×0.421697597882534-π/2
    0.843395195765069-1.57079632675     		φ = -0.72740113
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69748189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.962769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72740113 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.677015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80086 KachelY 82258 0.69748189 -0.72740113 39.962769 -41.677015
    Oben rechts KachelX + 1 80087 KachelY 82258 0.69752983 -0.72740113 39.965515 -41.677015
    Unten links KachelX 80086 KachelY + 1 82259 0.69748189 -0.72743693 39.962769 -41.679066
    Unten rechts KachelX + 1 80087 KachelY + 1 82259 0.69752983 -0.72743693 39.965515 -41.679066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72740113--0.72743693) × R
    3.58000000000303e-05 × 6371000     		dl = 228.081800000193m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72740113--0.72743693) × R
    3.58000000000303e-05 × 6371000     		dr = 228.081800000193m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69748189-0.69752983) × cos(-0.72740113) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.746904991383039 × 6371000     		do = 228.124009702709m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69748189-0.69752983) × cos(-0.72743693) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.746881186382713 × 6371000     		du = 228.116739042868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72740113)-sin(-0.72743693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746904991383039-0.746881186382713)×R²
    abs(0.69752983-0.69748189)×2.38050003260604e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38050003260604e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38050003260604e-05×40589641000000     		ar = 52030.1056093786m²