Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80085 / 83703
↖ ↑ ↗
← S 44.572861°
E 39.960022°		 ← 217.57 m → S 44.572861°
E 39.962769°		 →
↑
217.57 m
↓
↑
217.57 m
↓
S 44.574818°
E 39.960022°		 ← 217.57 m →
47 336 m²		 S 44.574818°
E 39.962769°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83703 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.611003875732422 y=0.638607025146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.611003875732422 × 217)
    floor (0.611003875732422 × 131072)
    floor (80085.5)     		tx = 80085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638607025146484 × 217)
    floor (0.638607025146484 × 131072)
    floor (83703.5)     		ty = 83703
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80085 / 83703 ti = "17/80085/83703"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80085/83703.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80085 ÷ 217
    80085 ÷ 131072     		x = 0.611000061035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83703 ÷ 217
    83703 ÷ 131072     		y = 0.638603210449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611000061035156 × 2 - 1) × π
    0.222000122070312 × 3.1415926535     		Λ = 0.69743395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638603210449219 × 2 - 1) × π
    -0.277206420898438 × 3.1415926535     		Φ = -0.87086965539756
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69743395} λ = 0.69743395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.87086965539756))-π/2
    2×atan(0.418587364152239)-π/2
    2×0.396426573655936-π/2
    0.792853147311873-1.57079632675     		φ = -0.77794318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69743395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.960022°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77794318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.572861°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80085 KachelY 83703 0.69743395 -0.77794318 39.960022 -44.572861
    Oben rechts KachelX + 1 80086 KachelY 83703 0.69748189 -0.77794318 39.962769 -44.572861
    Unten links KachelX 80085 KachelY + 1 83704 0.69743395 -0.77797733 39.960022 -44.574818
    Unten rechts KachelX + 1 80086 KachelY + 1 83704 0.69748189 -0.77797733 39.962769 -44.574818
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77794318--0.77797733) × R
    3.41500000000661e-05 × 6371000     		dl = 217.569650000421m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77794318--0.77797733) × R
    3.41500000000661e-05 × 6371000     		dr = 217.569650000421m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69743395-0.69748189) × cos(-0.77794318) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.712358552405002 × 6371000     		do = 217.572638013988m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69743395-0.69748189) × cos(-0.77797733) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.712334584983077 × 6371000     		du = 217.56531774641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77794318)-sin(-0.77797733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712358552405002-0.712334584983077)×R²
    abs(0.69748189-0.69743395)×2.39674219252306e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39674219252306e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39674219252306e-05×40589641000000     		ar = 47336.406372837m²