Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80084 / 83848
↖ ↑ ↗
← S 44.855869°
E 39.957276°		 ← 216.47 m → S 44.855869°
E 39.960022°		 →
↑
216.49 m
↓
↑
216.49 m
↓
S 44.857816°
E 39.957276°		 ← 216.46 m →
46 861 m²		 S 44.857816°
E 39.960022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83848 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610996246337891 y=0.639713287353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610996246337891 × 217)
    floor (0.610996246337891 × 131072)
    floor (80084.5)     		tx = 80084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639713287353516 × 217)
    floor (0.639713287353516 × 131072)
    floor (83848.5)     		ty = 83848
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80084 / 83848 ti = "17/80084/83848"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80084/83848.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80084 ÷ 217
    80084 ÷ 131072     		x = 0.610992431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83848 ÷ 217
    83848 ÷ 131072     		y = 0.63970947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610992431640625 × 2 - 1) × π
    0.22198486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69738602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.63970947265625 × 2 - 1) × π
    -0.2794189453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.877820505842468
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69738602} λ = 0.69738602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.877820505842468))-π/2
    2×atan(0.415687914480146)-π/2
    2×0.393956863640838-π/2
    0.787913727281676-1.57079632675     		φ = -0.78288260
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69738602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.957276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78288260 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.855869°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80084 KachelY 83848 0.69738602 -0.78288260 39.957276 -44.855869
    Oben rechts KachelX + 1 80085 KachelY 83848 0.69743395 -0.78288260 39.960022 -44.855869
    Unten links KachelX 80084 KachelY + 1 83849 0.69738602 -0.78291658 39.957276 -44.857816
    Unten rechts KachelX + 1 80085 KachelY + 1 83849 0.69743395 -0.78291658 39.960022 -44.857816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78288260--0.78291658) × R
    3.3979999999989e-05 × 6371000     		dl = 216.48657999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78288260--0.78291658) × R
    3.3979999999989e-05 × 6371000     		dr = 216.48657999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69738602-0.69743395) × cos(-0.78288260) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.708883313941751 × 6371000     		do = 216.466047778011m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69738602-0.69743395) × cos(-0.78291658) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.708859346562708 × 6371000     		du = 216.458729050493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78288260)-sin(-0.78291658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708883313941751-0.708859346562708)×R²
    abs(0.69743395-0.69738602)×2.39673790425332e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.39673790425332e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.39673790425332e-05×40589641000000     		ar = 46861.2021708558m²