Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80084 / 82260
↖ ↑ ↗
← S 41.681118°
E 39.957276°		 ← 228.06 m → S 41.681118°
E 39.960022°		 →
↑
228.08 m
↓
↑
228.08 m
↓
S 41.683169°
E 39.957276°		 ← 228.05 m →
52 016 m²		 S 41.683169°
E 39.960022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610996246337891 y=0.627597808837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610996246337891 × 217)
    floor (0.610996246337891 × 131072)
    floor (80084.5)     		tx = 80084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627597808837891 × 217)
    floor (0.627597808837891 × 131072)
    floor (82260.5)     		ty = 82260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80084 / 82260 ti = "17/80084/82260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80084/82260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80084 ÷ 217
    80084 ÷ 131072     		x = 0.610992431640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82260 ÷ 217
    82260 ÷ 131072     		y = 0.627593994140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610992431640625 × 2 - 1) × π
    0.22198486328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69738602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627593994140625 × 2 - 1) × π
    -0.25518798828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.801696709245819
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69738602} λ = 0.69738602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.801696709245819))-π/2
    2×atan(0.448567229912865)-π/2
    2×0.421661794714228-π/2
    0.843323589428457-1.57079632675     		φ = -0.72747274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69738602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.957276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72747274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.681118°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80084 KachelY 82260 0.69738602 -0.72747274 39.957276 -41.681118
    Oben rechts KachelX + 1 80085 KachelY 82260 0.69743395 -0.72747274 39.960022 -41.681118
    Unten links KachelX 80084 KachelY + 1 82261 0.69738602 -0.72750854 39.957276 -41.683169
    Unten rechts KachelX + 1 80085 KachelY + 1 82261 0.69743395 -0.72750854 39.960022 -41.683169
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72747274--0.72750854) × R
    3.58000000000303e-05 × 6371000     		dl = 228.081800000193m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72747274--0.72750854) × R
    3.58000000000303e-05 × 6371000     		dr = 228.081800000193m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69738602-0.69743395) × cos(-0.72747274) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.746857373775311 × 6371000     		do = 228.061883776109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69738602-0.69743395) × cos(-0.72750854) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.746833566860283 × 6371000     		du = 228.054614048208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72747274)-sin(-0.72750854))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746857373775311-0.746833566860283)×R²
    abs(0.69743395-0.69738602)×2.3806915028346e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.3806915028346e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.3806915028346e-05×40589641000000     		ar = 52015.9359221799m²