Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80083 / 82283
↖ ↑ ↗
← S 41.728280°
E 39.954529°		 ← 227.94 m → S 41.728280°
E 39.957276°		 →
↑
227.95 m
↓
↑
227.95 m
↓
S 41.730330°
E 39.954529°		 ← 227.93 m →
51 960 m²		 S 41.730330°
E 39.957276°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610988616943359 y=0.627773284912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610988616943359 × 217)
    floor (0.610988616943359 × 131072)
    floor (80083.5)     		tx = 80083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627773284912109 × 217)
    floor (0.627773284912109 × 131072)
    floor (82283.5)     		ty = 82283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80083 / 82283 ti = "17/80083/82283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80083/82283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80083 ÷ 217
    80083 ÷ 131072     		x = 0.610984802246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82283 ÷ 217
    82283 ÷ 131072     		y = 0.627769470214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610984802246094 × 2 - 1) × π
    0.221969604492188 × 3.1415926535     		Λ = 0.69733808
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.627769470214844 × 2 - 1) × π
    -0.255538940429688 × 3.1415926535     		Φ = -0.80279925793708
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69733808} λ = 0.69733808}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.80279925793708))-π/2
    2×atan(0.448072935242625)-π/2
    2×0.421250222346-π/2
    0.842500444692-1.57079632675     		φ = -0.72829588
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69733808} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.954529°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72829588 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.728280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80083 KachelY 82283 0.69733808 -0.72829588 39.954529 -41.728280
    Oben rechts KachelX + 1 80084 KachelY 82283 0.69738602 -0.72829588 39.957276 -41.728280
    Unten links KachelX 80083 KachelY + 1 82284 0.69733808 -0.72833166 39.954529 -41.730330
    Unten rechts KachelX + 1 80084 KachelY + 1 82284 0.69738602 -0.72833166 39.957276 -41.730330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72829588--0.72833166) × R
    3.57800000000408e-05 × 6371000     		dl = 227.95438000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72829588--0.72833166) × R
    3.57800000000408e-05 × 6371000     		dr = 227.95438000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69733808-0.69738602) × cos(-0.72829588) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.746309745674963 × 6371000     		do = 227.942206342366m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69733808-0.69738602) × cos(-0.72833166) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.746285930072162 × 6371000     		du = 227.934932444257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72829588)-sin(-0.72833166))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.746309745674963-0.746285930072162)×R²
    abs(0.69738602-0.69733808)×2.38156028004033e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.38156028004033e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.38156028004033e-05×40589641000000     		ar = 51959.5952698555m²