Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80081 / 83695
↖ ↑ ↗
← S 44.557207°
E 39.949035°		 ← 217.63 m → S 44.557207°
E 39.951782°		 →
↑
217.57 m
↓
↑
217.57 m
↓
S 44.559163°
E 39.949035°		 ← 217.62 m →
47 349 m²		 S 44.559163°
E 39.951782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83695 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610973358154297 y=0.638545989990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610973358154297 × 217)
    floor (0.610973358154297 × 131072)
    floor (80081.5)     		tx = 80081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638545989990234 × 217)
    floor (0.638545989990234 × 131072)
    floor (83695.5)     		ty = 83695
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80081 / 83695 ti = "17/80081/83695"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80081/83695.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80081 ÷ 217
    80081 ÷ 131072     		x = 0.610969543457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83695 ÷ 217
    83695 ÷ 131072     		y = 0.638542175292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610969543457031 × 2 - 1) × π
    0.221939086914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.69724220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638542175292969 × 2 - 1) × π
    -0.277084350585938 × 3.1415926535     		Φ = -0.8704861602006
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69724220} λ = 0.69724220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.8704861602006))-π/2
    2×atan(0.418747921180357)-π/2
    2×0.396563185079163-π/2
    0.793126370158327-1.57079632675     		φ = -0.77766996
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69724220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.949035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77766996 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.557207°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80081 KachelY 83695 0.69724220 -0.77766996 39.949035 -44.557207
    Oben rechts KachelX + 1 80082 KachelY 83695 0.69729014 -0.77766996 39.951782 -44.557207
    Unten links KachelX 80081 KachelY + 1 83696 0.69724220 -0.77770411 39.949035 -44.559163
    Unten rechts KachelX + 1 80082 KachelY + 1 83696 0.69729014 -0.77770411 39.951782 -44.559163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77766996--0.77770411) × R
    3.4149999999955e-05 × 6371000     		dl = 217.569649999714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77766996--0.77770411) × R
    3.4149999999955e-05 × 6371000     		dr = 217.569649999714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69724220-0.69729014) × cos(-0.77766996) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.712550275902808 × 6371000     		do = 217.631195304676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69724220-0.69729014) × cos(-0.77770411) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.7125263151283 × 6371000     		du = 217.623877067392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77766996)-sin(-0.77770411))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712550275902808-0.7125263151283)×R²
    abs(0.69729014-0.69724220)×2.39607745072812e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39607745072812e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39607745072812e-05×40589641000000     		ar = 47349.1468830493m²