Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80081 / 83693
↖ ↑ ↗
← S 44.553292°
E 39.949035°		 ← 217.65 m → S 44.553292°
E 39.951782°		 →
↑
217.63 m
↓
↑
217.63 m
↓
S 44.555249°
E 39.949035°		 ← 217.64 m →
47 366 m²		 S 44.555249°
E 39.951782°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80081 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610973358154297 y=0.638530731201172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610973358154297 × 217)
    floor (0.610973358154297 × 131072)
    floor (80081.5)     		tx = 80081
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638530731201172 × 217)
    floor (0.638530731201172 × 131072)
    floor (83693.5)     		ty = 83693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80081 / 83693 ti = "17/80081/83693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80081/83693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80081 ÷ 217
    80081 ÷ 131072     		x = 0.610969543457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83693 ÷ 217
    83693 ÷ 131072     		y = 0.638526916503906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610969543457031 × 2 - 1) × π
    0.221939086914062 × 3.1415926535     		Λ = 0.69724220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638526916503906 × 2 - 1) × π
    -0.277053833007812 × 3.1415926535     		Φ = -0.87039028640136
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69724220} λ = 0.69724220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.87039028640136))-π/2
    2×atan(0.418788070059066)-π/2
    2×0.396597343679162-π/2
    0.793194687358324-1.57079632675     		φ = -0.77760164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69724220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.949035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77760164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.553292°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80081 KachelY 83693 0.69724220 -0.77760164 39.949035 -44.553292
    Oben rechts KachelX + 1 80082 KachelY 83693 0.69729014 -0.77760164 39.951782 -44.553292
    Unten links KachelX 80081 KachelY + 1 83694 0.69724220 -0.77763580 39.949035 -44.555249
    Unten rechts KachelX + 1 80082 KachelY + 1 83694 0.69729014 -0.77763580 39.951782 -44.555249
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77760164--0.77763580) × R
    3.41600000000053e-05 × 6371000     		dl = 217.633360000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77760164--0.77763580) × R
    3.41600000000053e-05 × 6371000     		dr = 217.633360000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69724220-0.69729014) × cos(-0.77760164) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.712598208990265 × 6371000     		do = 217.645835303384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69724220-0.69729014) × cos(-0.77763580) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.71257424286229 × 6371000     		du = 217.638515431012m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77760164)-sin(-0.77763580))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712598208990265-0.71257424286229)×R²
    abs(0.69729014-0.69724220)×2.39661279753944e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39661279753944e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39661279753944e-05×40589641000000     		ar = 47366.1979075908m²