Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80080 / 83861
↖ ↑ ↗
← S 44.881174°
E 39.946289°		 ← 216.37 m → S 44.881174°
E 39.949035°		 →
↑
216.42 m
↓
↑
216.42 m
↓
S 44.883120°
E 39.946289°		 ← 216.36 m →
46 827 m²		 S 44.883120°
E 39.949035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610965728759766 y=0.639812469482422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610965728759766 × 217)
    floor (0.610965728759766 × 131072)
    floor (80080.5)     		tx = 80080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639812469482422 × 217)
    floor (0.639812469482422 × 131072)
    floor (83861.5)     		ty = 83861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80080 / 83861 ti = "17/80080/83861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80080/83861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80080 ÷ 217
    80080 ÷ 131072     		x = 0.6109619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83861 ÷ 217
    83861 ÷ 131072     		y = 0.639808654785156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6109619140625 × 2 - 1) × π
    0.221923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69719427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639808654785156 × 2 - 1) × π
    -0.279617309570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.878443685537529
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69719427} λ = 0.69719427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.878443685537529))-π/2
    2×atan(0.415428946912406)-π/2
    2×0.393736031340594-π/2
    0.787472062681188-1.57079632675     		φ = -0.78332426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69719427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.946289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78332426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.881174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80080 KachelY 83861 0.69719427 -0.78332426 39.946289 -44.881174
    Oben rechts KachelX + 1 80081 KachelY 83861 0.69724220 -0.78332426 39.949035 -44.881174
    Unten links KachelX 80080 KachelY + 1 83862 0.69719427 -0.78335823 39.946289 -44.883120
    Unten rechts KachelX + 1 80081 KachelY + 1 83862 0.69724220 -0.78335823 39.949035 -44.883120
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78332426--0.78335823) × R
    3.39700000000498e-05 × 6371000     		dl = 216.422870000317m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78332426--0.78335823) × R
    3.39700000000498e-05 × 6371000     		dr = 216.422870000317m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69719427-0.69724220) × cos(-0.78332426) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.708571730631964 × 6371000     		do = 216.370902066522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69719427-0.69724220) × cos(-0.78335823) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.708547759673426 × 6371000     		du = 216.363582245962m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78332426)-sin(-0.78335823))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708571730631964-0.708547759673426)×R²
    abs(0.69724220-0.69719427)×2.3970958538122e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3970958538122e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3970958538122e-05×40589641000000     		ar = 46826.8195261851m²