Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80080 / 82419
↖ ↑ ↗
← S 42.006448°
E 39.946289°		 ← 226.91 m → S 42.006448°
E 39.949035°		 →
↑
226.94 m
↓
↑
226.94 m
↓
S 42.008489°
E 39.946289°		 ← 226.90 m →
51 492 m²		 S 42.008489°
E 39.949035°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80080 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610965728759766 y=0.628810882568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610965728759766 × 217)
    floor (0.610965728759766 × 131072)
    floor (80080.5)     		tx = 80080
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628810882568359 × 217)
    floor (0.628810882568359 × 131072)
    floor (82419.5)     		ty = 82419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80080 / 82419 ti = "17/80080/82419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80080/82419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80080 ÷ 217
    80080 ÷ 131072     		x = 0.6109619140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82419 ÷ 217
    82419 ÷ 131072     		y = 0.628807067871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6109619140625 × 2 - 1) × π
    0.221923828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.69719427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628807067871094 × 2 - 1) × π
    -0.257614135742188 × 3.1415926535     		Φ = -0.809318676285408
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69719427} λ = 0.69719427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.809318676285408))-π/2
    2×atan(0.445161261848543)-π/2
    2×0.418822749788635-π/2
    0.83764549957727-1.57079632675     		φ = -0.73315083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69719427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.946289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73315083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.006448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80080 KachelY 82419 0.69719427 -0.73315083 39.946289 -42.006448
    Oben rechts KachelX + 1 80081 KachelY 82419 0.69724220 -0.73315083 39.949035 -42.006448
    Unten links KachelX 80080 KachelY + 1 82420 0.69719427 -0.73318645 39.946289 -42.008489
    Unten rechts KachelX + 1 80081 KachelY + 1 82420 0.69724220 -0.73318645 39.949035 -42.008489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73315083--0.73318645) × R
    3.5620000000014e-05 × 6371000     		dl = 226.935020000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73315083--0.73318645) × R
    3.5620000000014e-05 × 6371000     		dr = 226.935020000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69719427-0.69724220) × cos(-0.73315083) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.74306951402753 × 6371000     		do = 226.905215234699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69719427-0.69724220) × cos(-0.73318645) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.743045676144954 × 6371000     		du = 226.897936050485m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73315083)-sin(-0.73318645))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74306951402753-0.743045676144954)×R²
    abs(0.69724220-0.69719427)×2.38378825760943e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38378825760943e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38378825760943e-05×40589641000000     		ar = 51491.913611988m²