Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80078 / 83699
↖ ↑ ↗
← S 44.565034°
E 39.940796°		 ← 217.60 m → S 44.565034°
E 39.943542°		 →
↑
217.57 m
↓
↑
217.57 m
↓
S 44.566991°
E 39.940796°		 ← 217.59 m →
47 343 m²		 S 44.566991°
E 39.943542°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610950469970703 y=0.638576507568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610950469970703 × 217)
    floor (0.610950469970703 × 131072)
    floor (80078.5)     		tx = 80078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.638576507568359 × 217)
    floor (0.638576507568359 × 131072)
    floor (83699.5)     		ty = 83699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80078 / 83699 ti = "17/80078/83699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80078/83699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80078 ÷ 217
    80078 ÷ 131072     		x = 0.610946655273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83699 ÷ 217
    83699 ÷ 131072     		y = 0.638572692871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610946655273438 × 2 - 1) × π
    0.221893310546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.69709839
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.638572692871094 × 2 - 1) × π
    -0.277145385742188 × 3.1415926535     		Φ = -0.87067790779908
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69709839} λ = 0.69709839}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.87067790779908))-π/2
    2×atan(0.418667634969692)-π/2
    2×0.396494874772187-π/2
    0.792989749544374-1.57079632675     		φ = -0.77780658
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69709839} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.940796°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.77780658 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.565034°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80078 KachelY 83699 0.69709839 -0.77780658 39.940796 -44.565034
    Oben rechts KachelX + 1 80079 KachelY 83699 0.69714633 -0.77780658 39.943542 -44.565034
    Unten links KachelX 80078 KachelY + 1 83700 0.69709839 -0.77784073 39.940796 -44.566991
    Unten rechts KachelX + 1 80079 KachelY + 1 83700 0.69714633 -0.77784073 39.943542 -44.566991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.77780658--0.77784073) × R
    3.4149999999955e-05 × 6371000     		dl = 217.569649999714m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.77780658--0.77784073) × R
    3.4149999999955e-05 × 6371000     		dr = 217.569649999714m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69709839-0.69714633) × cos(-0.77780658) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.712454413784737 × 6371000     		do = 217.601916546831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69709839-0.69714633) × cos(-0.77784073) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.712430449686054 × 6371000     		du = 217.594597294257m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.77780658)-sin(-0.77784073))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.712454413784737-0.712430449686054)×R²
    abs(0.69714633-0.69709839)×2.39640986831047e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39640986831047e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39640986831047e-05×40589641000000     		ar = 47342.7766033701m²