Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80077 / 82345
↖ ↑ ↗
← S 41.855242°
E 39.938049°		 ← 227.44 m → S 41.855242°
E 39.940796°		 →
↑
227.44 m
↓
↑
227.44 m
↓
S 41.857288°
E 39.938049°		 ← 227.44 m →
51 730 m²		 S 41.857288°
E 39.940796°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610942840576172 y=0.628246307373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610942840576172 × 217)
    floor (0.610942840576172 × 131072)
    floor (80077.5)     		tx = 80077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628246307373047 × 217)
    floor (0.628246307373047 × 131072)
    floor (82345.5)     		ty = 82345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80077 / 82345 ti = "17/80077/82345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80077/82345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80077 ÷ 217
    80077 ÷ 131072     		x = 0.610939025878906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82345 ÷ 217
    82345 ÷ 131072     		y = 0.628242492675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610939025878906 × 2 - 1) × π
    0.221878051757812 × 3.1415926535     		Λ = 0.69705046
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628242492675781 × 2 - 1) × π
    -0.256484985351562 × 3.1415926535     		Φ = -0.805771345713524
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69705046} λ = 0.69705046}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.805771345713524))-π/2
    2×atan(0.446743200172339)-π/2
    2×0.420142270466391-π/2
    0.840284540932782-1.57079632675     		φ = -0.73051179
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69705046} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.938049°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73051179 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.855242°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80077 KachelY 82345 0.69705046 -0.73051179 39.938049 -41.855242
    Oben rechts KachelX + 1 80078 KachelY 82345 0.69709839 -0.73051179 39.940796 -41.855242
    Unten links KachelX 80077 KachelY + 1 82346 0.69705046 -0.73054749 39.938049 -41.857288
    Unten rechts KachelX + 1 80078 KachelY + 1 82346 0.69709839 -0.73054749 39.940796 -41.857288
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73051179--0.73054749) × R
    3.56999999999719e-05 × 6371000     		dl = 227.444699999821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73051179--0.73054749) × R
    3.56999999999719e-05 × 6371000     		dr = 227.444699999821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69705046-0.69709839) × cos(-0.73051179) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.744833007557879 × 6371000     		do = 227.443719198492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69705046-0.69709839) × cos(-0.73054749) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.744809186225382 × 6371000     		du = 227.436445068043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73051179)-sin(-0.73054749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744833007557879-0.744809186225382)×R²
    abs(0.69709839-0.69705046)×2.38213324964542e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.38213324964542e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.38213324964542e-05×40589641000000     		ar = 51730.0412542831m²