Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80074 / 82348
↖ ↑ ↗
← S 41.861379°
E 39.929810°		 ← 227.42 m → S 41.861379°
E 39.932556°		 →
↑
227.44 m
↓
↑
227.44 m
↓
S 41.863425°
E 39.929810°		 ← 227.41 m →
51 725 m²		 S 41.863425°
E 39.932556°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610919952392578 y=0.628269195556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610919952392578 × 217)
    floor (0.610919952392578 × 131072)
    floor (80074.5)     		tx = 80074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628269195556641 × 217)
    floor (0.628269195556641 × 131072)
    floor (82348.5)     		ty = 82348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80074 / 82348 ti = "17/80074/82348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80074/82348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80074 ÷ 217
    80074 ÷ 131072     		x = 0.610916137695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82348 ÷ 217
    82348 ÷ 131072     		y = 0.628265380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610916137695312 × 2 - 1) × π
    0.221832275390625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69690665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628265380859375 × 2 - 1) × π
    -0.25653076171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.805915156412384
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69690665} λ = 0.69690665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.805915156412384))-π/2
    2×atan(0.446678958339953)-π/2
    2×0.420088715558167-π/2
    0.840177431116333-1.57079632675     		φ = -0.73061890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69690665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.929810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73061890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.861379°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80074 KachelY 82348 0.69690665 -0.73061890 39.929810 -41.861379
    Oben rechts KachelX + 1 80075 KachelY 82348 0.69695458 -0.73061890 39.932556 -41.861379
    Unten links KachelX 80074 KachelY + 1 82349 0.69690665 -0.73065460 39.929810 -41.863425
    Unten rechts KachelX + 1 80075 KachelY + 1 82349 0.69695458 -0.73065460 39.932556 -41.863425
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73061890--0.73065460) × R
    3.57000000000829e-05 × 6371000     		dl = 227.444700000528m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73061890--0.73065460) × R
    3.57000000000829e-05 × 6371000     		dr = 227.444700000528m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69690665-0.69695458) × cos(-0.73061890) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.744761534039357 × 6371000     		do = 227.421893900311m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69690665-0.69695458) × cos(-0.73065460) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.744737709858931 × 6371000     		du = 227.414618900213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73061890)-sin(-0.73065460))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744761534039357-0.744737709858931)×R²
    abs(0.69695458-0.69690665)×2.38241804269013e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38241804269013e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38241804269013e-05×40589641000000     		ar = 51725.0771072118m²