Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80071 / 83837
↖ ↑ ↗
← S 44.834448°
E 39.921570°		 ← 216.55 m → S 44.834448°
E 39.924316°		 →
↑
216.61 m
↓
↑
216.61 m
↓
S 44.836396°
E 39.921570°		 ← 216.54 m →
46 906 m²		 S 44.836396°
E 39.924316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83837 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610897064208984 y=0.639629364013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610897064208984 × 217)
    floor (0.610897064208984 × 131072)
    floor (80071.5)     		tx = 80071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639629364013672 × 217)
    floor (0.639629364013672 × 131072)
    floor (83837.5)     		ty = 83837
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80071 / 83837 ti = "17/80071/83837"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80071/83837.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80071 ÷ 217
    80071 ÷ 131072     		x = 0.610893249511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83837 ÷ 217
    83837 ÷ 131072     		y = 0.639625549316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610893249511719 × 2 - 1) × π
    0.221786499023438 × 3.1415926535     		Λ = 0.69676284
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639625549316406 × 2 - 1) × π
    -0.279251098632812 × 3.1415926535     		Φ = -0.877293199946648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69676284} λ = 0.69676284}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.877293199946648))-π/2
    2×atan(0.415907166969758)-π/2
    2×0.394143797572327-π/2
    0.788287595144654-1.57079632675     		φ = -0.78250873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69676284} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.921570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78250873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.834448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80071 KachelY 83837 0.69676284 -0.78250873 39.921570 -44.834448
    Oben rechts KachelX + 1 80072 KachelY 83837 0.69681077 -0.78250873 39.924316 -44.834448
    Unten links KachelX 80071 KachelY + 1 83838 0.69676284 -0.78254273 39.921570 -44.836396
    Unten rechts KachelX + 1 80072 KachelY + 1 83838 0.69681077 -0.78254273 39.924316 -44.836396
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78250873--0.78254273) × R
    3.39999999999785e-05 × 6371000     		dl = 216.613999999863m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78250873--0.78254273) × R
    3.39999999999785e-05 × 6371000     		dr = 216.613999999863m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69676284-0.69681077) × cos(-0.78250873) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.709146964539245 × 6371000     		do = 216.546556660174m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69676284-0.69681077) × cos(-0.78254273) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.709122992065756 × 6371000     		du = 216.539236377006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78250873)-sin(-0.78254273))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709146964539245-0.709122992065756)×R²
    abs(0.69681077-0.69676284)×2.39724734893976e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39724734893976e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39724734893976e-05×40589641000000     		ar = 46906.2229908798m²