Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80070 / 83838
S 44.836396°
E 39.918823°
← 216.58 m → S 44.836396°
E 39.921570°

216.55 m

216.55 m
S 44.838343°
E 39.918823°
← 216.58 m →
46 901 m²
S 44.838343°
E 39.921570°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83838 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610889434814453 y=0.639636993408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610889434814453 × 217)
    floor (0.610889434814453 × 131072)
    floor (80070.5)
    tx = 80070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639636993408203 × 217)
    floor (0.639636993408203 × 131072)
    floor (83838.5)
    ty = 83838
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80070 / 83838 ti = "17/80070/83838"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80070/83838.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80070 ÷ 217
    80070 ÷ 131072
    x = 0.610885620117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83838 ÷ 217
    83838 ÷ 131072
    y = 0.639633178710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.610885620117188 × 2 - 1) × π
    0.221771240234375 × 3.1415926535
    Λ = 0.69671490
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.639633178710938 × 2 - 1) × π
    -0.279266357421875 × 3.1415926535
    Φ = -0.877341136846268
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69671490} λ = 0.69671490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.877341136846268))-π/2
    2×atan(0.415887230147502)-π/2
    2×0.394126800706166-π/2
    0.788253601412332-1.57079632675
    φ = -0.78254273
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69671490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.918823°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78254273 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.836396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80070 KachelY 83838 0.69671490 -0.78254273 39.918823 -44.836396
    Oben rechts KachelX + 1 80071 KachelY 83838 0.69676284 -0.78254273 39.921570 -44.836396
    Unten links KachelX 80070 KachelY + 1 83839 0.69671490 -0.78257672 39.918823 -44.838343
    Unten rechts KachelX + 1 80071 KachelY + 1 83839 0.69676284 -0.78257672 39.921570 -44.838343
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-0.78254273--0.78257672) × R
    3.39900000000393e-05 × 6371000
    dl = 216.55029000025m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-0.78254273--0.78257672) × R
    3.39900000000393e-05 × 6371000
    dr = 216.55029000025m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.69671490-0.69676284) × cos(-0.78254273) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.709122992065756 × 6371000
    do = 216.584414602556m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.69671490-0.69676284) × cos(-0.78257672) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.709099025823609 × 6371000
    du = 216.577094695313m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-0.78254273)-sin(-0.78257672))×
    abs(λ12)×abs(0.709122992065756-0.709099025823609)×
    abs(0.69676284-0.69671490)×2.39662421466225e-05×
    4.79399999999686e-05×2.39662421466225e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39662421466225e-05×40589641000000
    ar = 46900.6252322853m²