Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80068 / 82350
↖ ↑ ↗
← S 41.865470°
E 39.913330°		 ← 227.41 m → S 41.865470°
E 39.916077°		 →
↑
227.44 m
↓
↑
227.44 m
↓
S 41.867516°
E 39.913330°		 ← 227.40 m →
51 722 m²		 S 41.867516°
E 39.916077°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82350 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610874176025391 y=0.628284454345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610874176025391 × 217)
    floor (0.610874176025391 × 131072)
    floor (80068.5)     		tx = 80068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628284454345703 × 217)
    floor (0.628284454345703 × 131072)
    floor (82350.5)     		ty = 82350
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80068 / 82350 ti = "17/80068/82350"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80068/82350.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80068 ÷ 217
    80068 ÷ 131072     		x = 0.610870361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82350 ÷ 217
    82350 ÷ 131072     		y = 0.628280639648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610870361328125 × 2 - 1) × π
    0.22174072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.69661903
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628280639648438 × 2 - 1) × π
    -0.256561279296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.806011030211624
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69661903} λ = 0.69661903}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.806011030211624))-π/2
    2×atan(0.446636135584)-π/2
    2×0.420053015141221-π/2
    0.840106030282441-1.57079632675     		φ = -0.73069030
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69661903} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.913330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73069030 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.865470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80068 KachelY 82350 0.69661903 -0.73069030 39.913330 -41.865470
    Oben rechts KachelX + 1 80069 KachelY 82350 0.69666696 -0.73069030 39.916077 -41.865470
    Unten links KachelX 80068 KachelY + 1 82351 0.69661903 -0.73072600 39.913330 -41.867516
    Unten rechts KachelX + 1 80069 KachelY + 1 82351 0.69666696 -0.73072600 39.916077 -41.867516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73069030--0.73072600) × R
    3.56999999999719e-05 × 6371000     		dl = 227.444699999821m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73069030--0.73072600) × R
    3.56999999999719e-05 × 6371000     		dr = 227.444699999821m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69661903-0.69666696) × cos(-0.73069030) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.744713884729343 × 6371000     		do = 227.407343609751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69661903-0.69666696) × cos(-0.73072600) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.744690058650625 × 6371000     		du = 227.400068029986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73069030)-sin(-0.73072600))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.744713884729343-0.744690058650625)×R²
    abs(0.69666696-0.69661903)×2.38260787178701e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.38260787178701e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.38260787178701e-05×40589641000000     		ar = 51721.7676546083m²