Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 80067 / 83867
↖ ↑ ↗
← S 44.892850°
E 39.910584°		 ← 216.37 m → S 44.892850°
E 39.913330°		 →
↑
216.36 m
↓
↑
216.36 m
↓
S 44.894796°
E 39.910584°		 ← 216.36 m →
46 813 m²		 S 44.894796°
E 39.913330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610866546630859 y=0.639858245849609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610866546630859 × 217)
    floor (0.610866546630859 × 131072)
    floor (80067.5)     		tx = 80067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639858245849609 × 217)
    floor (0.639858245849609 × 131072)
    floor (83867.5)     		ty = 83867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80067 / 83867 ti = "17/80067/83867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80067/83867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80067 ÷ 217
    80067 ÷ 131072     		x = 0.610862731933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83867 ÷ 217
    83867 ÷ 131072     		y = 0.639854431152344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610862731933594 × 2 - 1) × π
    0.221725463867188 × 3.1415926535     		Λ = 0.69657109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639854431152344 × 2 - 1) × π
    -0.279708862304688 × 3.1415926535     		Φ = -0.878731306935249
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69657109} λ = 0.69657109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.878731306935249))-π/2
    2×atan(0.415309477839796)-π/2
    2×0.393634141485912-π/2
    0.787268282971824-1.57079632675     		φ = -0.78352804
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69657109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.910584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78352804 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.892850°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80067 KachelY 83867 0.69657109 -0.78352804 39.910584 -44.892850
    Oben rechts KachelX + 1 80068 KachelY 83867 0.69661903 -0.78352804 39.913330 -44.892850
    Unten links KachelX 80067 KachelY + 1 83868 0.69657109 -0.78356200 39.910584 -44.894796
    Unten rechts KachelX + 1 80068 KachelY + 1 83868 0.69661903 -0.78356200 39.913330 -44.894796
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78352804--0.78356200) × R
    3.39599999999995e-05 × 6371000     		dl = 216.359159999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78352804--0.78356200) × R
    3.39599999999995e-05 × 6371000     		dr = 216.359159999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69657109-0.69661903) × cos(-0.78352804) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.70842792084807 × 6371000     		do = 216.372121962043m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69657109-0.69661903) × cos(-0.78356200) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.708403952043164 × 6371000     		du = 216.364801272067m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78352804)-sin(-0.78356200))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.70842792084807-0.708403952043164)×R²
    abs(0.69661903-0.69657109)×2.39688049067377e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39688049067377e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39688049067377e-05×40589641000000     		ar = 46813.2986106257m²