Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80067 / 83841
↖ ↑ ↗
← S 44.842238°
E 39.910584°		 ← 216.56 m → S 44.842238°
E 39.913330°		 →
↑
216.55 m
↓
↑
216.55 m
↓
S 44.844186°
E 39.910584°		 ← 216.56 m →
46 896 m²		 S 44.844186°
E 39.913330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83841 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610866546630859 y=0.639659881591797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610866546630859 × 217)
    floor (0.610866546630859 × 131072)
    floor (80067.5)     		tx = 80067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639659881591797 × 217)
    floor (0.639659881591797 × 131072)
    floor (83841.5)     		ty = 83841
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80067 / 83841 ti = "17/80067/83841"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80067/83841.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80067 ÷ 217
    80067 ÷ 131072     		x = 0.610862731933594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83841 ÷ 217
    83841 ÷ 131072     		y = 0.639656066894531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610862731933594 × 2 - 1) × π
    0.221725463867188 × 3.1415926535     		Λ = 0.69657109
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639656066894531 × 2 - 1) × π
    -0.279312133789062 × 3.1415926535     		Φ = -0.877484947545128
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69657109} λ = 0.69657109}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.877484947545128))-π/2
    2×atan(0.415827425414671)-π/2
    2×0.394075813554547-π/2
    0.788151627109094-1.57079632675     		φ = -0.78264470
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69657109} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.910584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78264470 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.842238°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80067 KachelY 83841 0.69657109 -0.78264470 39.910584 -44.842238
    Oben rechts KachelX + 1 80068 KachelY 83841 0.69661903 -0.78264470 39.913330 -44.842238
    Unten links KachelX 80067 KachelY + 1 83842 0.69657109 -0.78267869 39.910584 -44.844186
    Unten rechts KachelX + 1 80068 KachelY + 1 83842 0.69661903 -0.78267869 39.913330 -44.844186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78264470--0.78267869) × R
    3.39900000000393e-05 × 6371000     		dl = 216.55029000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78264470--0.78267869) × R
    3.39900000000393e-05 × 6371000     		dr = 216.55029000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69657109-0.69661903) × cos(-0.78264470) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.709051090881635 × 6371000     		do = 216.56245413069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69657109-0.69661903) × cos(-0.78267869) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.709027122181862 × 6371000     		du = 216.555133472825m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78264470)-sin(-0.78267869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709051090881635-0.709027122181862)×R²
    abs(0.69661903-0.69657109)×2.39686997726141e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39686997726141e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39686997726141e-05×40589641000000     		ar = 46895.8696044288m²