Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80062 / 83872
↖ ↑ ↗
← S 44.902578°
E 39.896850°		 ← 216.34 m → S 44.902578°
E 39.899597°		 →
↑
216.30 m
↓
↑
216.30 m
↓
S 44.904523°
E 39.896850°		 ← 216.33 m →
46 792 m²		 S 44.904523°
E 39.899597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83872 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610828399658203 y=0.639896392822266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610828399658203 × 217)
    floor (0.610828399658203 × 131072)
    floor (80062.5)     		tx = 80062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639896392822266 × 217)
    floor (0.639896392822266 × 131072)
    floor (83872.5)     		ty = 83872
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80062 / 83872 ti = "17/80062/83872"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80062/83872.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80062 ÷ 217
    80062 ÷ 131072     		x = 0.610824584960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83872 ÷ 217
    83872 ÷ 131072     		y = 0.639892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610824584960938 × 2 - 1) × π
    0.221649169921875 × 3.1415926535     		Λ = 0.69633140
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639892578125 × 2 - 1) × π
    -0.27978515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.87897099143335
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69633140} λ = 0.69633140}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.87897099143335))-π/2
    2×atan(0.415209946524577)-π/2
    2×0.393549249071946-π/2
    0.787098498143892-1.57079632675     		φ = -0.78369783
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69633140} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.896850°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78369783 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.902578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80062 KachelY 83872 0.69633140 -0.78369783 39.896850 -44.902578
    Oben rechts KachelX + 1 80063 KachelY 83872 0.69637934 -0.78369783 39.899597 -44.902578
    Unten links KachelX 80062 KachelY + 1 83873 0.69633140 -0.78373178 39.896850 -44.904523
    Unten rechts KachelX + 1 80063 KachelY + 1 83873 0.69637934 -0.78373178 39.899597 -44.904523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78369783--0.78373178) × R
    3.39499999999493e-05 × 6371000     		dl = 216.295449999677m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78369783--0.78373178) × R
    3.39499999999493e-05 × 6371000     		dr = 216.295449999677m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69633140-0.69637934) × cos(-0.78369783) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.708308075712955 × 6371000     		do = 216.335518172464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69633140-0.69637934) × cos(-0.78373178) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.708284109882894 × 6371000     		du = 216.328198391082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78369783)-sin(-0.78373178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.708308075712955-0.708284109882894)×R²
    abs(0.69637934-0.69633140)×2.39658300610346e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39658300610346e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39658300610346e-05×40589641000000     		ar = 46791.5966408545m²