Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 80060 / 83836
↖ ↑ ↗
← S 44.832500°
E 39.891357°		 ← 216.60 m → S 44.832500°
E 39.894104°		 →
↑
216.55 m
↓
↑
216.55 m
↓
S 44.834448°
E 39.891357°		 ← 216.59 m →
46 904 m²		 S 44.834448°
E 39.894104°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 80060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 83836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.610813140869141 y=0.639621734619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.610813140869141 × 217)
    floor (0.610813140869141 × 131072)
    floor (80060.5)     		tx = 80060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.639621734619141 × 217)
    floor (0.639621734619141 × 131072)
    floor (83836.5)     		ty = 83836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 80060 / 83836 ti = "17/80060/83836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/80060/83836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 80060 ÷ 217
    80060 ÷ 131072     		x = 0.610809326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 83836 ÷ 217
    83836 ÷ 131072     		y = 0.639617919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.610809326171875 × 2 - 1) × π
    0.22161865234375 × 3.1415926535     		Λ = 0.69623553
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.639617919921875 × 2 - 1) × π
    -0.27923583984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.877245263047028
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.69623553} λ = 0.69623553}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.877245263047028))-π/2
    2×atan(0.415927104747746)-π/2
    2×0.394160795012965-π/2
    0.78832159002593-1.57079632675     		φ = -0.78247474
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.69623553} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 39.891357°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78247474 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -44.832500°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 80060 KachelY 83836 0.69623553 -0.78247474 39.891357 -44.832500
    Oben rechts KachelX + 1 80061 KachelY 83836 0.69628347 -0.78247474 39.894104 -44.832500
    Unten links KachelX 80060 KachelY + 1 83837 0.69623553 -0.78250873 39.891357 -44.834448
    Unten rechts KachelX + 1 80061 KachelY + 1 83837 0.69628347 -0.78250873 39.894104 -44.834448
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78247474--0.78250873) × R
    3.39900000000393e-05 × 6371000     		dl = 216.55029000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78247474--0.78250873) × R
    3.39900000000393e-05 × 6371000     		dr = 216.55029000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.69623553-0.69628347) × cos(-0.78247474) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.709170929142595 × 6371000     		do = 216.599055819723m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.69623553-0.69628347) × cos(-0.78250873) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.709146964539245 × 6371000     		du = 216.591736413011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78247474)-sin(-0.78250873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.709170929142595-0.709146964539245)×R²
    abs(0.69628347-0.69623553)×2.39646033497465e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39646033497465e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39646033497465e-05×40589641000000     		ar = 46903.7958462241m²